HDU 1024 MAX sum plus plus 动态规划

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 12181 Accepted Submission(s): 4024

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 ... Sn.
Process to the end of file.

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3

2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

=======================================================================================

=====================================我是分割线=========================================

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这题的思路是看了别人的博客，好久才想明白！

博客地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_677a3eb30100jxqa.html

思路：

dp[i][j]表示前j个元素分成i段的最优解，同时这个最优解是由a[j]元素结束的。

转移方程是dp[i][j] = max { f[i][j-1]+a[j]，max（f[i-1][k]）+a[j], (i-1<=k<j) } (i<=j<=n-m+i)

其中j的上下界的确定比较麻烦。现在分别解释上界和下界：

上界：dp[i][j]中，如果j=i-1，意思就是在前面i-1个元素中分成i段，这个是不可能实现的。

下界：如果m=n=4，这时dp[2][4]求出来了，意思是前面的四个元素分成了两段，当是还有两段要分，

所以求出这个是没有意义的。当然求出来也不会影响结果，只是这样时间复杂度就提高了。

这是其中一个特例的状态转移表 m=4，n=6 ，-1 4 -2 3 -2 3

图 1

没有填的说明不用算。

很显然dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i],

所以对角线上面有：

图 2

现在演示一下转移过程。如何求下图的框中的元素的值

图 3

由下面涂色的元素的最大值加上a[3]=-2求的如下图

图 4

最大的是4，所以4+（-2）=2；框中填2;

假如框中的元素是dp[i][j],画圈的元素表示的是，左边那个是dp[i][j-1],上面的几个是dp[i-1][k](i-1<=k<j)} ，这个就是上面的转移方程的表格表示法。

以上是大牛做的解说介，下面是我自己的看法：

我们可以这么理解，把这n个数求最大的 m个子串和，那么我们可以把最后的 m 个数分离出来，这最后的m个数肯定需要加入计算范围，题目要求子串不能互相包含，则可以把m个数依次加入计算范围，加入第 i 个数就计算了 i 个子串和，直到 i == m，这样我们就减少了计算，节约了时间开销！

比如测试数据的第二组：

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6]

2 6 -1 4 -2 3 -2 3 中间的是dp状态

i = 0 0 0 0 0 0 0

i = 1 -1 4 2 5 3 6 这里的dp[1][6]其实可以不用计算，这里只是为了方便说明

i = 2 -1 3 2 7 5 8

i == 0 ：初始状态

i == 1 ： 保存的是到a[j]为止的一段子串和（根据的是上一状态dp[i-1][0]到dp[i-1][j-1]中的最大值 + a[j]与dp[i][j-1] + a[j]两者中的最大值）

i == 2 ： 保存的是到a[j]为止的两段子串和（根据同上）

解题代码：

G++代码

 1 // File Name: Max Sum Plus Plus 1024.cpp
 2 // Author: sheng
 3 // Created Time: 2013年04月30日 星期二 16时46分15秒
 4 
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <iostream>
 8 using namespace  std;
 9 #define Max(a, b) (a) > (b) ? (a) : (b)
10 typedef __int64 LL;
11 
12 const int max_n = 1e6 + 5;
13 LL s[max_n];
14 LL dp[2][max_n];//由于矩阵可能很大所以采用滚动数组比较实用
15 
16 int main()
17 {
18     int n, m;
19     int i, j;
20     while (~scanf ("%d%d", &m, &n))
21     {
22         for (i = 1; i <= n; i ++)
23         {
24             scanf ("%I64d", &s[i]);
25             dp[0][i] = dp[1][i] = 0;//初始化dp数组
26         }
27         int pos = 1;     //初始使用的滚动数组中的一行
28         for (i = 1; i <= m; i ++)     //这里从一段子串和开始直到m段子串和
29         {    // 1
30             dp[pos][i] = dp[pos^1][i-1] + s[i];
31             LL max = dp[pos^1][i-1];
32             for (j = i + 1; j <= n - m + i; j ++)
33             {
34                 max = Max ( max, dp[pos^1][j-1] );
35                 dp[pos][j] = Max ( max + s[j], dp[pos][j-1] + s[j]);
36             }
37              // 2
38             ///////1~2已经在思路中说明就不多说了
39             pos ^= 1; //滚动数组实现滚动的条件
40         }
41         pos ^= 1;  //当i > m 时要记得返回上一状态
42         LL ans = -1e10;
43         for (i = m; i <= n; i++) //这个循环为了找到最大的 m段子串和
44         {
45             ans = Max (ans, dp[pos][i]);
46         }
47         printf ("%I64d\n", ans);
48     }
49     return 0;
50 }