SG函数入门

sg[i]0表示i节点先手必败。

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3mex{2,3,5}=0mex{}=0

对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | yx的后继 },这里的gx)即sg[x]

例如:取石子问题,有1n个的石子,每次只能取{13,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

sg[0]=0f[]={1,3,4},

x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;

x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0

x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;

x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},sg[4]=2;

x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},sg[5]=3

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

 

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步,SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算

        

【实战】:

例1

  HDU1848 Fibonacci again and again

例2

  HDU1536 S-Nim

 

原文地址:https://www.cnblogs.com/shenben/p/6649942.html