poj2407

欧拉函数裸题。

欧拉函数：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).

　　对于积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）

　　任意整数可因式分解为如下形式：

　　　 $N = p{_{1}}^{e_{1}} cdot p{_{2}}^{e_{2}} cdot cdot cdot p_{k}^{e_{k}}$ 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　所以

　　　　 $E(N) = E(p_{1}^{e_{i}} * p_{2}^{e_{2}} * ... * p_{k}^{e_{k}} )$

　　因为欧拉函数 E（X）为积性函数，所以

　　　　 $E(N)= E(p_{1}^{e_{i}} ) * E(p_{2}^{e_{2}} )* ... * E(p_{k}^{e_{k}} )$

　　对于 $E(p_{i}^{e_{i}} )$ ，我们知道因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质

　　对于区间[ 1, $p_{i}^{e_{i}}$ ] ，共有 $p_{i}^{e_{i}}$ 个数，因为 $p_{i}^{e_{i}}$ 只有一个质因子，

　　所以与 $p_{i}^{e_{i}}$ 约数大于1 的必定包含质因子 $p_{i}$ ，其数量为 $frac{p_{i}^{e_{i}}}{ p_{i}}$

　所以　　 $E( p_{i}^{e_{i}}) = p_{i}^{e_{i}} - frac{p_{i}^{e_{i}}}{ p_{i}}$ 　

　　又 E（N）为积性函数，所以可得：

　　　 $E( N ) = prod_{i=1}^{k} ( p_{i}^{e_{i}}-p_{i}^{e_{i}-1} ) = prod_{i=1}^{k} ( (p_{i}-1)*p_{i}^{e_{i}-1} )$ 　

　　又因为 $N = p{_{1}}^{e_{1}} cdot p{_{2}}^{e_{2}} cdot cdot cdot p_{k}^{e_{k}}$ 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　　 $E( N ) = N*prod_{i=1}^{k} ( frac{ p_i-1 }{p_i})$ 　但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);