P1707 刷题比赛

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题目提供者nodgd
标签倍增递推矩阵洛谷原创
难度提高+/省选-

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题目背景

nodgd是一个喜欢写程序的同学，前不久洛谷OJ横空出世，nodgd同学当然第一时间来到洛谷OJ刷题。于是发生了一系列有趣的事情，他就打算用这些事情来出题恶心大家……

题目描述

洛谷OJ当然算是好地方，nodgd同学打算和朋友分享一下。于是他就拉上了他的朋友Ciocio和Nicole两位同学一起刷题。喜欢比赛的他们当然不放过这样一次刷题比赛的机会！

在第1天nodgd,Coicoi,Nicole都只做了1道题。

在第2天nodgd,Coicoi,Nicole都只做了3道题。

他们都有着严格的刷题规则，并且会在每一天都很遵守规则的刷一定量的题。

(1)nodgd同学第k+2天刷题数量a[k+2]=p*a[k+1]+q*a[k]+b[k+1]+c[k+1]+r*k^2+t*k+1;

(2)Ciocio同学第k+2天刷题数量b[k+2]=u*b[k+1]+v*b[k]+a[k+1]+c[k+1]+w^k;

(3)Nicole同学第k+2天刷题数量c[k+2]=x*c[k+1]+y*c[k]+a[k+1]+b[k+1]+z^k+k+2;

（以上的字母p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是给定的常数，并保证是正整数）

于是他们开始了长时间的刷题比赛！一共进行了N天(4<=N<=10^16)

但是时间是可贵的，nodgd想快速知道第N天每个人的刷题数量。不过nodgd同学还有大量的数学竞赛题、物理竞赛题、英语竞赛题、美术竞赛题、体育竞赛题……要做，就拜托你来帮他算算了。

由于结果很大，输出结果mod K的值即可。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数N,K。(4<=N<=10^16，2<=K<=10^16)

第二行四个正整数p,q,r,t。

第三行三个正整数u,v,w。

第四行三个正整数x,y,z。

(保证p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是不超过100的正整数)

输出格式：

共三行，每行一个名字+一个空格+一个整数。依次是nodgd,Ciocio,Nicole和他们在第N天刷题数量mod K的值。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

nodgd 74
Ciocio 80
Nicole 59

说明

矩阵乘法。

注意，中间相乘过程可能会比64位长整型的数据范围还要大。

看到数据范围很大，之后异想天开，以为一定会答案循环，再加上快速幂，最多也只是50分。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e5+100;
ll n,mod;
ll a[N]={0,1,3};
ll b[N]={0,1,3};
ll c[N]={0,1,3};
ll kpow(ll a,ll p){
    ll ans=1;
    for(;p;p>>=1,a=(a*a)%mod) if(p&1) ans=(ans*a)%mod;
    return ans;
}
int main(){
    //freopen("sh.txt","r",stdin);
    int p,q,r,t,u,v,w,x,y,z;ll ma(0),mb(0),mc(0);bool fa(0),fb(0),fc(0);
    cin>>n>>mod;
    cin>>p>>q>>r>>t>>u>>v>>w>>x>>y>>z;
    if(mod==1){printf("nodgd 0
Ciocio 0
Nicole 0
");return 0;} 
    if(n==1){printf("nodgd 1
Ciocio 1
Nicole 1
");return 0;}
    if(n==2){printf("nodgd %d
Ciocio %d
Nicole %d
",3%mod,3%mod,3%mod);return 0;}
    for(ll i=3;i<=n;i++){
        a[i]=(p*a[i-1]%mod+q*a[i-2]%mod+b[i-1]+c[i-1]+r%mod*kpow((i-2)%mod,2)%mod+t*(i-2)%mod+1)%mod;
        b[i]=(u*b[i-1]%mod+v*b[i-2]%mod+a[i-1]+c[i-1]+kpow(w%mod,(i-2))%mod)%mod;
        c[i]=(x*c[i-1]%mod+y*c[i-2]%mod+a[i-1]+b[i-1]+kpow(z%mod,(i-2))%mod+i)%mod;
        if(a[i]==a[2]&&a[i-1]==a[1]){ma=i-2;fa=1;}
        if(b[i]==b[2]&&b[i-1]==b[1]){mb=i-2;fb=1;}
        if(c[i]==c[2]&&c[i-1]==c[1]){mc=i-2;fc=1;}
        if(fa&&fb&&fc) break;
    }
    if(fa&&fb&&fc){
        cout<<"nodgd "<<a[n%ma]<<endl;
        cout<<"Ciocio "<<b[n%mb]<<endl;
        cout<<"Nicole "<<c[n%mc]<<endl; 
    }
    else{
        cout<<"nodgd "<<a[n]<<endl;
        cout<<"Ciocio "<<b[n]<<endl;
        cout<<"Nicole "<<c[n]<<endl;  
    }
    return 0;
}

看到标签，“矩阵乘法”，去网上看了看矩阵乘法

附上AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,mod,p,q,r,t,u,v,w,x,y,z;
ll f[12][12],a[12][12];
ll slow_mul(ll a,ll b){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1){
            b--;ans+=a;ans%=mod;
        }
        a<<=1;a%=mod;b>>=1;
    }
    return ans;
}
void mul(ll a[12][12],ll b[12][12]){
    ll c[12][12];memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=11;i++)
        for(int j=1;j<=11;j++)
            for(int k=1;k<=11;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+slow_mul(a[i][k],b[k][j]))%mod;
    for(int i=1;i<=11;i++)
        for(int j=1;j<=11;j++)
            a[i][j]=c[i][j];
}
int main()
{
    cin>>n>>mod>>p>>q>>r>>t>>u>>v>>w>>x>>y>>z;n-=2;
    f[1][1]=f[1][3]=f[1][5]=3;f[1][2]=f[1][4]=f[1][6]=1;
    f[1][7]=f[1][8]=f[1][9]=1;f[1][10]=w;f[1][11]=z;
    a[1][1]=p;a[2][1]=q;a[7][1]=r;a[8][1]=t;a[3][3]=u;
    a[4][3]=v;a[5][5]=x;a[6][5]=y;a[9][5]=a[8][7]=2;
    a[10][10]=w;a[11][11]=z;
    a[1][2]=a[1][3]=a[1][5]=a[3][1]=a[3][4]=a[3][5]=1;
    a[5][1]=a[5][3]=a[7][7]=a[8][5]=a[8][8]=a[9][1]=1;
    a[9][7]=a[9][8]=a[9][9]=a[10][3]=a[11][5]=a[5][6]=1;
    while(n){
        if(n&1)mul(f,a);
        mul(a,a);n>>=1;
    }
    cout<<"nodgd"<<" "<<f[1][1]<<endl;
    cout<<"Ciocio"<<" "<<f[1][3]<<endl;
    cout<<"Nicole"<<" "<<f[1][5]<<endl;
    return 0;
}