1173 最优贸易

2009年NOIP全国联赛提高组

时间限制: 1 s

空间限制: 128000 KB

题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

【问题描述】
C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个
城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分
为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价
格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息
之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城
市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的
过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方
式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另
一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定
这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路
为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。
阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3
号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。
阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格
买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号
以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入描述 Input Description

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，
表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市
y 之间的双向道路。

输出描述 Output Description

包含1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，
则输出0。

样例输入 Sample Input

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】
输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。
对于 10%的数据，1≤n≤6。
对于 30%的数据，1≤n≤100。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市
水晶球价格≤100。

分类标签 Tags 点此展开

SPFA 图论大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2009年

题意简述：在图中找A、B两个点，使这两点的差价最大，且由B点能到达n点。

解题思路：用max[i]记录由第i个城市向下走所能到达的城市中的最大价格，那么，每一个点的孩子中的最大值，就是该点的最大值，即：max[i]=MAX{max[j]，由i能到达j}，按照这个方法递归搜索两遍，就能得到答案，注意是两遍，因为该图中有环，第一遍无法处理有环的情况，因此需要第二遍搜索。

AC代码：

官方版：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 100002
int n,m,s[N],maxn[N],minn[N],vis[N],v[N],ans;
vector<int>a[N],b[N];
inline int read(){
    register int x=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void spfa(int s){
    memset(minn,127/3,sizeof minn);
    vis[s]=1;minn[s]=v[s];
    queue<int>que;
    que.push(s);
    while(!que.empty()){
        int k=que.front();que.pop();
        for(int i=0;i<a[k].size();i++){
            minn[a[k][i]]=min(minn[a[k][i]],min(v[a[k][i]],minn[k]));
            if(!vis[a[k][i]]){
                vis[a[k][i]]=1;
                que.push(a[k][i]);
            }
        }
    }
}
void SPFA(int s){
    vis[s]=1;maxn[s]=v[s];
    queue<int>que;
    que.push(s);
    while(!que.empty()){
        int k=que.front();que.pop();
        for(int i=0;i<b[k].size();i++){
            maxn[b[k][i]]=max(maxn[b[k][i]],max(v[b[k][i]],maxn[k]));
            if(!vis[b[k][i]]){
                vis[b[k][i]]=1;
                que.push(b[k][i]);
            }
        }
    }
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read();//每个城市的价格 
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        x=read();y=read();z=read();
        if(z==1)
            a[x].push_back(y),b[y].push_back(x);//单边 
        else
            a[x].push_back(y),a[y].push_back(x),b[x].push_back(y),b[y].push_back(x);//双边  
    }
    spfa(1);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    SPFA(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,maxn[i]-minn[i]);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

民间版：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100002
int n,m,s[N],maxn[N],minn[N],ans;
vector<int>a[N],b[N];
void dfs1(int g ,int h){//g为城市编号，h为当前城市的价格 
    minn[g]=min(h,minn[g]);//因为双向边可以来回，买价可以更低 
    for(int i=0;i<a[g].size();i++)
        if(h<minn[a[g][i]]) 
            dfs1(a[g][i],min(s[a[g][i]],h));    
}
void dfs2(int g ,int h){//同理
    maxn[g]=max(h,maxn[g]);
    for(int i=0;i<b[g].size();i++)
        if(h>maxn[b[g][i]]) 
            dfs2(b[g][i],max(s[b[g][i]],h));
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",s+i);//每个城市的价格 
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(z==1)
            a[x].push_back(y),b[y].push_back(x);//单边 
        else
            a[x].push_back(y),a[y].push_back(x),b[x].push_back(y),b[y].push_back(x);//双边  
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        maxn[i]=-1e9,minn[i]=1e9;
    dfs1(1,s[1]);//低价买
    dfs2(n,s[n]);//高价卖 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(maxn[i]!=-1e9&&minn[i]!=1e9)
            ans=max(ans,maxn[i]-minn[i]);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}