1137 计算系数

1137 计算系数

 数论or递推

2011年NOIP全国联赛提高组

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 黄金 Gold

题解

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题目描述 Description

给定一个多项式(ax + by)^k，请求出多项式展开后x^n y^m项的系数。

输入描述 Input Description

共一行，包含 5 个整数，分别为a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出描述 Output Description

输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

样例输入 Sample Input

1 1 3 1 2

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据范围
对于 30%的数据，有0≤k≤10；
对于 50%的数据，有a = 1，b = 1；
对于 100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。

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大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2011年

题解：杨辉三角+快速幂+同余与模算术

思想版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1001
#define mod 10007
int a,b,k,n,m;
long long f[N][N];
long long quick_pow(long long x,long long n){ 
    if(n==0) return 1;
    else{
        while((n&1)==0){
            n>>=1;
            x=(x*x)%mod;
        }    
    }
    long long result=x;
    n>>=1;
    while(n!=0){
        x=(x*x)%mod;
        if((n&1)!=0){
            result=(result*x)%mod;
        }
        n>>=1;
    }
    return result;
}
void init(){
    for(int i=0;i<=k;i++) f[i][0]=f[i][i]=1;
    for(int i=2;i<=k;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    init();
    long long t=f[k][k-n];
    long long t1=quick_pow(a,n);
    long long t2=quick_pow(b,m);
    long long ans=((t%mod*t1%mod)%mod*(t2%mod))%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
} 

递推版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1100
#define mod 10007
int f[N][N];
int a,b,k,n,m;
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    a%=mod;
    b%=mod;
    f[1][0]=a;
    f[1][1]=b;
    for(int i=2;i<=k;i++){
        for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]*a%mod;
            if(j)
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]*b)%mod;
        }
    }
    printf("%d
",f[k][m]);
    return 0;
}