关于取模运算和求逆元

先分享2个式子

当模式左边有除法：

今天了解了2个，感觉这2个很棒~，尤其第一个：

1、$dfrac {a} {b}\% m=dfrac {a \%left( bcdot m ight) } {b}$ 要求：a能整除b。（不知道用了什么奇技淫巧。。。）

2、$dfrac {a} {b}\% m=(acdot b^{m-2} )\%m$ 要求：gcd（b , m）== 1 且 m为素数且 a能整除b （利用费小马定理）

b在模m 下存在逆元的条件： b与m互质（即gcd（b,m） == 1 ）。

求逆元又分三种方法，拓展欧几里得法，欧拉函数法，费小马法。从一般到特殊吧：

1、拓展欧几里得法：

　　要求：a与m互质。

代码：

void ext_gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        ext_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}

int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y,d;
    ext_gcd(a, m, d, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}

2、欧拉函数法

　　要求：b与m互质。

令$phi left( m ight) $表示小于等于且与互素的正整数的个数。

如果b和m互质（逆元存在条件），则有$b^{phi left( m ight)}equiv 1left( modm ight) $ 。即$bast b^{phi left( m ight)-1}equiv 1left( modm ight) $，$b^{phi left( m ight)-1} $即为b的逆元

特殊的，当m为质数的情况下，$phi left( m ight) =m-1$，即费小马定理。

重点在于求解欧拉值

利用欧拉函数的积性性质：

　　对任意的整数n，可以将他分解为$n=p_{1}^{k_{1}}ast p_{2}^{k_{2}}ast p_{3}^{k_{3}}... p_{m}^{k_{m}} $，其中p_i为质数，

　　其中$phi left( n ight) =phi left( p_{1}^{k_{1}} ight) ast phi left( p_{2}^{k_{2}} ight) ... phi left( p_{m}^{k_{m}} ight) $

　　最后转化为：$phi left( n ight) =nast prod left( p_{i}-1 ight) / p_{i}$

代码：

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

3、费小马定理法

要求：b与m互质，且 m为质数

　　在m是素数的情况下，对任意整数b都有$b^m equiv b(mod)m$

　　如果b无法被p整除，则有$b^{m-1} equiv 1(modm)$

　　可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，$b * b^{m-2} equiv 1(mod m)$，$b^{m-2}$即为逆元。

代码：可用快速幂幂