向量内积&外积

一、向量的内积
1.1向量内积的定义

概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算，即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

$a=[a_{1},a_{2},...a_{n}]$ $b=[b_{1},b_{2},...b_{n}]$

a和b的点积公式为：

$acdot b=a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+...+a_{n}cdot b_{n}$

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).

定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b = 0。

1.2向量内积的性质

a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0（正定性）
a·b = b·a （对称性）
(λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立

1.3向量内积的几何意义

内积（点乘）的几何意义包括：

表征或计算两个向量之间的夹角
b向量在a向量方向上的投影

公式 $acdot b=left | a ight |left | b ight |cos heta$ 推导过程如下，首先看一下向量组成：

根据余弦定理有：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2left | a ight |left | b ight |cos heta$

将c=a-b带入上式中得出：

$(a-b)(a-b)=a^{2}+b^{2}-2acdot b=a^{2}+b^{2}-2left | a ight |left | b ight |cos heta$

因此可以得出：

$acdot b=left | a ight |left | b ight |cos heta$

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

$heta =arccos(frac{acdot b}{left | a ight |left | b ight |})$

进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

二、向量的外积
2.1向量外积的定义

概括地说，两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，a×a=0。

对于向量a和向量b：

$a=(x_{1},y_{1},z_{1})$

$b=(x_{2},y_{2},z_{2})$

a和b的外积公式为：

$a imes b=egin{vmatrix} i & j & k\ x_{1}& y_{1} & z_{1}\ x_{2}& y_{2} & z_{2} end{vmatrix}=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1})j+(x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})k$

其中：

$i=(1,0,0)$ $j=(0,1,0)$ $k=(0,0,1)$

根据i、j、k间关系，有：

$a imes b=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1}),x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})$

2.2向量外积的性质

a × b = -b × a. （反称性）
(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

2.3向量外积的几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果称为法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

向量内积&外积

一、向量的内积

1.1向量内积的定义

1.2向量内积的性质

1.3向量内积的几何意义

二、向量的外积

2.1向量外积的定义

2.2向量外积的性质

2.3向量外积的几何意义