算法设计与分析：排列问题p013

全排列的递归和回溯

声明本文是从p013的排列问题牵扯出的“递归”和“回溯”的自我笔记

本文含大量转载以及整合，参考详见
https://www.jianshu.com/p/a1b3eaf1ed51
https://zhuanlan.zhihu.com/p/92782083
https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong-2/
https://leetcode-cn.com/u/powcai/
https://baike.baidu.com/item/回溯算法/9258495?fr=aladdin#4
https://blog.csdn.net/yhflyl/article/details/86763197
https://www.cnblogs.com/fanguangdexiaoyuer/p/11224426.html#_label0

课本p013的排列问题描述：

课本提供的递归算法:

package cn.htu.test;
public class Perm {
    public static void main(String[] args){
        char[] list="ABC".toCharArray();//字符串转化为字符数组
        perm(list,0);
    }
    

    //如果你debug一下会发现k从头到尾都是0，所以能够让k达到加一的是在参数中加一
	private static void perm(char[] list, int k) {
		// TODO Auto-generated method stub
		//递归结束条件
		if (k == list.length) {
			for (int i = 0; i < list.length; i++) {
				System.out.print(list[i]);
			}
			System.out.println();
		}
		else {
			for (int i = k; i < list.length; i++) {
				{char t=list[k];list[k]=list[i];list[i]=t;}//k和i交换位置
				//不要看错了以为k位置和i位置没啥好换的，i并不是一直等于k就只有初始的时候等于k,后面的i都是在k的基础上累加到list.length(即本例的3的)
				perm(list, k+1);
				{char t=list[k];list[k]=list[i];list[i]=t;}//在交换回来，实际就是回溯
				
			}
		}
	}
}

上面的是递归算法，但是很难理解，那就先不理解，先看看全排列的回溯算法吧

从全排列看回溯（感谢力扣@labuladong）

在此之前先看一个全排列的树形图(@力扣liweiwei)

废话不多说，直接上回溯算法框架。解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：

1、路径：也就是已经做出的选择。

2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。

3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。

如果你不理解这三个词语的解释，没关系，我们后面会用「全排列」和「N 皇后问题」这两个经典的回溯算法问题来帮你理解这些词语是什么意思，现在你先留着印象。

代码方面，回溯算法的框架：

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单。

什么叫做选择和撤销选择呢，这个框架的底层原理是什么呢？下面我们就通过「全排列」这个问题来解开之前的疑惑，详细探究一下其中的奥妙！

一、全排列问题
我们在高中的时候就做过排列组合的数学题，我们也知道 n 个不重复的数，全排列共有 n! 个。

PS：为了简单清晰起见，我们这次讨论的全排列问题不包含重复的数字。

那么我们当时是怎么穷举全排列的呢？比方说给三个数 [1,2,3]，你肯定不会无规律地乱穷举，一般是这样：

先固定第一位为 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位变成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能变化第一位，变成 2，然后再穷举后两位……

其实这就是回溯算法，我们高中无师自通就会用，或者有的同学直接画出如下这棵回溯树：

只要从根遍历这棵树，记录路径上的数字，其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。

为啥说这是决策树呢，因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在下图的红色节点上：

你现在就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。

现在可以解答开头的几个名词：[2] 就是「路径」，记录你已经做过的选择；[1,3] 就是「选择列表」，表示你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，在这里就是选择列表为空的时候。

如果明白了这几个名词，可以把「路径」和「选择」列表作为决策树上每个节点的属性，比如下图列出了几个节点的属性：

我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。

再进一步，如何遍历一棵树？这个应该不难吧。回忆一下之前「学习数据结构的框架思维」写过，各种搜索问题其实都是树的遍历问题，而多叉树的遍历框架就是这样：

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍历需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍历需要的操作
}

而所谓的前序遍历和后序遍历，他们只是两个很有用的时间点，我给你画张图你就明白了：

PS：这里真的是颠覆了笔者（S.lee）的一些观念，前序和后序是要看进入和出去结点相对函数来讲的，一个进入一个结点就是进入一个自身函数

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

回想我们刚才说的，「路径」和「选择」是每个节点的属性，函数在树上游走要正确维护节点的属性，那么就要在这两个特殊时间点搞点动作：

现在，你是否理解了回溯算法的这段核心框架？

for 选择 in 选择列表:
    # 做选择
    将该选择从选择列表移除
    路径.add(选择)
    backtrack(路径, 选择列表)
    # 撤销选择
    路径.remove(选择)
    将该选择再加入选择列表

我们只要在递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择，就能正确得到每个节点的选择列表和路径。

下面，直接看全排列代码：

package com.htu.test;

import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class Test {
	List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

	/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
	List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
	    // 记录「路径」
	    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
	    backtrack(nums, track);
	    return res;
	}

	// 路径：记录在 track 中
	// 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素
	// 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
	@SuppressWarnings("unchecked")
	void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
	    // 触发结束条件
	    if (track.size() == nums.length) {
	        res.add(new LinkedList(track));
	        return;
	    }
	    
	    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
	        // 排除不合法的选择
	        if (track.contains(nums[i]))
	            continue;
	        // 做选择
	        track.add(nums[i]);
	        // 进入下一层决策树
	        backtrack(nums, track);
	        // 取消选择
	        track.removeLast();
	    }
	}

}

我们这里稍微做了些变通，没有显式记录「选择列表」，而是通过 nums 和 track 推导出当前的选择列表：

至此，我们就通过全排列问题详解了回溯算法的底层原理。当然，这个算法解决全排列不是很高效，应为对链表使用 contains 方法需要 O(N) 的时间复杂度。有更好的方法通过交换元素达到目的，但是难理解一些，这里就不写了，有兴趣可以自行搜索一下。

但是必须说明的是，不管怎么优化，都符合回溯框架，而且时间复杂度都不可能低于 O(N!)，因为穷举整棵决策树是无法避免的。这也是回溯算法的一个特点，不像动态规划存在重叠子问题可以优化，回溯算法就是纯暴力穷举，复杂度一般都很高。

明白了全排列问题，就可以直接套回溯算法框架了，下面简单看看 N 皇后问题。

疫情期间学习效率是真的低，而且在家待时间长了真的不想学习，但是后来发现用博客的方式记录也挺好，没人看，但又有被看到的机会，比离线的记事本更能促进> 学习，hahhahahah，至于N皇后我还没看到，过几天在写代码吧，链接在文字里哦,要记得去吃

再看一小栗子

题目：
给定一个字符串S，通过将字符串S中的每个字母转变大小写，我们可以获得一个新的字符串。返回所有可能得到的字符串集合。

示例:
输入: S = "a1b2"
输出: ["a1b2", "a1B2", "A1b2", "A1B2"]

输入: S = "3z4"
输出: ["3z4", "3Z4"]

输入: S = "12345"
输出: ["12345"]

注意

S 的长度不超过12。
S 仅由数字和字母组成。

代码实现

package com.htu.test;

import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class DiguiHuisu {
	/**
	 * 
	 * @param pre,是一个准备当道res列表里的子串
	 * @param S，准备处理的模板串
	 * @param res，最终结果的列表容器
	 * @param index从第几个元素开始
	 */
	public static void dfs(String pre, String S, List<String> res, int index) {
		System.out.println("该函数被执行一次");
	    if (index == S.length())//下标index本来是从零开始的，每次在调用自身函数的时候都会+1,最后在自己的身体里自增到等于S.length即3就不能在往下调用自己了，
	    	//所以最后一次它自己调用自己的时候没有完全执行，而是只执行了这个if条件语句，这也是为什么单独的if条件写在前面的原因
	        res.add(pre);//最后的结果都是在这里结束的,每次都会add一个结果字符串
	    else {
	        char ch = S.charAt(index);//ch指向index位置的字符
	        if (!Character.isLetter(ch))//如果当下字符不是字母的话
	            dfs(pre + ch, S, res, index + 1);//把数字字符还放到临时的pre里
	        else {
	        	//下面这段代码按道理说都会顺序执行，但是为什么把ch既变小写又变大写呢，是因为在执行了变小之后
	        	//紧接着又执行自身函数，空
				// 小写字符分支
	            ch = Character.toLowerCase(ch);
	            dfs(pre + ch, S, res, index + 1);
				// 大写字符分支
	            ch = Character.toUpperCase(ch);
	            dfs(pre + ch, S, res, index + 1);
	        }
	    }
	}

	public static List<String> letterCasePermutation(String S) {
	    List<String> res = new LinkedList<>();
	    dfs("", S, res, 0);
	    return res;//res是最终返回的结果是个List列表
	}

	// 测试
	public static void main(String[] args) {
	    String S = "a1b";//输入的串
	    System.out.println(letterCasePermutation(S));
	}


}