线性代数之——行列式公式及代数余子式

计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 (n!) 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

主元的乘积为 (2 * frac{3}{2}* frac{4}{3}* frac{5}{4} = 5)。
大公式有 (4!=24) 项，但只有 5 个非零项。

[det A = 16-4-4-4+1 = 5 ]

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元过程会让主元 (d_1,cdots,d_n) 最后出现在矩阵 (U) 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

[det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2cdots d_n) ]

如果有行交换，那么有 (PA=LU) 而且有 (|P| = pm1)，所以

[det A = pm(d_1d_2cdots d_n) ]

如果主元的个数少于 (n)，那么 (det A=0)，矩阵是不可逆的。

例 1

例 2

[det A = 2 * frac{3}{2}* frac{4}{3}* frac{5}{4} cdots *frac{n+1}{n} = n+1 ]

而且，我们可以看到，前 (k) 个主元来自于矩阵 (A) 左上角大小为 (k×k) 的矩阵 (A_k)。

[det A_k = d_1d_2cdots d_k ]

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 (A_k = L_kU_k)，因此

[frac{detspace A_k}{det space A_{k-1}}=frac{detspace U_k}{det space U_{k-1}} o d_k=frac{d_1d_2cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2cdots d_{k-1}} ]

2. 大公式

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 (3×3) 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 (2×2) 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 (2!=2) 项需要计算。

对于一个 (3×3) 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 (A) 的行列式是 (n!) 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

3. 代数余子式公式

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 (2×2) 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 (a_{11}，a_{12}，a_{13})，余下的行贡献出代数余子式 (C_{11}，C_{12}，C_{13})，然后行列式的值就是 (a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13})。

接下来，我们需要注意符号。要计算 (C_{1j})，我们划掉第 (1) 行第 (j) 列来产生一个大小为 (n-1) 的子矩阵 (M_{1j})，然后

[C_{1j} = (-1)^{1+j} det space M_{1j} ]

[det space A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+cdots +a_{1n}C_{1n} ]

注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 (C_{ij}) 来说，我们划掉第 (i) 行第 (j) 列来产生一个大小为 (n-1) 的子矩阵 (M_{ij})。

[C_{ij} = (-1)^{i+j} det space M_{ij} ]

[det space A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+cdots +a_{in}C_{in} ]

同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。

[det space A = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+cdots +a_{nj}C_{nj} ]

代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。

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