一，题目
求一个数组的最长递减子序列
比如{9，4，3，2，5，4，3，2}的最长递减子序列为{9，5，4，3，2}
求一个数组的最长递增子序列
比如{1，-1，2，-3，4，-5，6，-7}的最长递减子序列为{1，2，4，3，6}
二，递增序列长度求解方法
解法一：
时间复杂度为 o（n^2）
遍历数组序列，每遍历一个数组元素，则求序列到当前位置 最长的递增序列数，用temp[i]存储。
注意，当前的最长递增子序列受已经遍历的最长递增子序列影响，从序列头 再遍历到当前位置的前一个位置，挨个比较 a[j]与a[i](当前元素)大小，遇到小于a[i]且判断需要更新
ｔｅｍｐ［］数组。
由于这里仅仅是求，最长递增序列的长度，所以仅仅用ｔｅｍｐ［］存储长度大小。
源码：
#include <iostream>
using namespace std;
int LIS(int array[],int n)
{
int temp[n];//存放当前遍历位置最长序列
for(int i=0;i<n;++i)
{
temp[i]=1; //初始化 默认长度
for(int j=0;j<i;++j) //找出前面最长的序列
{
// 当前值 array[i] 跟已经遍历的值比较，
//大于已经遍历的值且已知递增序列+1 大于当前值则 更新当前最长递增序列值
if(array[i]>array[j] && temp[j]+1 > temp[i] )
{
temp[i] = temp[j] + 1;
}
}
}
int max=temp[0];
for(int k=0;k<n;++k)//找出整个数组中最长的子序列
{
if(max<temp[k])
max=temp[k];
}
return max;
}
int main()
{
int arr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
int result=LIS(arr,8);
cout<<result<<endl;
}
解法二：时间复杂度任然为 Ｏ（ｎ＾２）
为了减少比较次数
采用空间换时间的策略。新增一个数组ＭａｘＶ［］，ｍａｘ［ｉ］表示所有长度为ｉ的递增子序列中最大值之间的最小值
ｎＭａｘｌａｘ记录当前最长子序列
每次遍历一个元素时候，从最长子序列开始遍历，一直到１ 比较当前元素值ａｒｒ［ｉ］ 跟ＭａｘＶ［ｊ］的值，从而更新ｔｅｍｐ［］最长子序列和ｎＭａｘＬａｘ和ＭａｘＶ［］的值
源码：
#include <iostream>
using namespace std;
int LIS(int array[],int n)
{
int temp[n];//存放当前遍历位置最长序列
int MaxV[n]; //最长子序列中最大值之间的最小值
MaxV[1]=array[0];//初始序列长度为1的子序列 中最大值的最小值
MaxV[0]=-9999;//边界值
for(int i=0;i<n;++i)
{
temp[i]=1; //初始化 默认长度
}
int nMaxLis=1;
int j;
for(int i=0;i<n;++i)
{
for(j=nMaxLis;j>=0;--j) //找出前面最长的序列
{
if(array[i]>MaxV[j])//当前值大于长度为j的子序列中最大值之间的最小值
{
temp[i] = j + 1;
break;
}
}
if(temp[i]>nMaxLis)//在最长子序列时停止 （这时只有一个最长的）
{
cout<<"nMaxLIs"<<nMaxLis<<endl;
nMaxLis=temp[i];
MaxV[temp[i]]=array[i];
}
else if(MaxV[j] <array[i] && array[i]<MaxV[j+1])
{
MaxV[j+1]=array[i];
}
}
return nMaxLis;
}
int main()
{
int arr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
int result=LIS(arr,8);
cout<<result<<endl;
}
解法三：
将内循环查询部分换成二分搜索，则时间复杂度降低为 Ｏ（ｎｌｏｇＮ）
三，递减序列 最长子序列求解方法
用index数组，从大到小排序。然后依次遍历元素，查找元素在index数组中的位置pos ，根据位置来判断当前最长的子序列。
#include<iostream>
#include<cassert>
#include<stack>
using namespace std ;
int BiSearch(int *A,int nTarget,int nLen);
void FindLongestSequence(int *A,int nLen)
{
int *index=new int[nLen];//存放子序列
int *LDS=new int[nLen];
index[0]=A[0];
LDS[0]=1;
int indexLen=1; //最长递增子序列 长度
for (int i=1;i<nLen;i++)
{
//这里是关键，在已经加入的 序列中查找当前序列的插入位置
int pos=BiSearch(index,A[i],indexLen);
index[pos]=A[i];
LDS[i]=pos+1;//记录当前最长序列
if(pos>=indexLen)//插入的当前位置大于最长序列
indexLen++;
}
int ResultLen=indexLen;
for (int i=nLen;i>=0;i--)//记录最长递减子序列
{
if(LDS[i]==ResultLen)
{
index[ResultLen-1]=A[i];
ResultLen--;
}
}
for (int i=0;i<indexLen;i++)
{
cout<<index[i]<<" ";
}
delete []index;
}
int BiSearch(int *A,int nTarget,int nLen)//二分搜索
{
assert(A!=NULL&&nLen>0);
int start=0;
int end=nLen-1;
while (start<=end)
{
int mid=(start+end)/2;
if(nTarget>A[mid])
end=mid-1;
else if(nTarget<A[mid])
start=mid+1;
else
return mid;
}
return start;
}
int main()
{
int A[]={9,4,3,2,5,4,3,2,77,76};
int nLen=sizeof(A)/sizeof(int);
FindLongestSequence(A,nLen);
return 1;
}