【C/C++】最短路径

BFS求无权图的最短路径

用book数组的值表示路径长度即可，省略

Floyd算法（允许负边）

  • Floyd算法可以一次性求出所有节点之间的最短距离，且代码简单，但是时间复杂度达到了n^3，因此只适用于n<200的情况；
  • 原理：任意两点i，j之间的距离分为两种情况：过k点和不过k点。从k=1开始操作遍历到n即可，不过很显然每次计算基本上只有对k的邻边是有效的
  • 代码实现（基于邻接矩阵）：
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 105;
int graph[MAXN][MAXN];

void floyd(int n)
{
    int s=1;//求s到n的距离
    for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if(graph[i][k] != INF)//如果相等则说明无需遍历
                for(int j=1; j<=n; j++)
                    if(graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j])
                        graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
    printf("%d
",graph[s][n]);//输出结果
    return ;
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        if(n==0 && m==0) break;
        memset(graph,0x3f,sizeof(graph));
        while(m--)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            graph[a][b] = graph[b][a] = c;
        }
        floyd(n);
    }
    return 0;
}
  • Floyd算法适用于邻接矩阵：由于算法是动态规划的思想，必须有一个二维数组表示点与点之间的距离，所以使用其他图的表示方法会浪费空间；
  • 判断负圈：通过代码不难发现，点 i 到自己的距离并非为0，而是graph[i][i] = graph[i][k] + graph[k][i]，即绕外面一圈再回来。一旦存在graph[i][i]<0，就说明有负圈存在；

Bellman-Ford算法（允许负边）

  • Bellman-Ford算法解决的是单源最短路径问题，即起点s到图中每个点的最短距离；
  • 原理：每一轮更新中，对于每一个点，询问它的邻居是否可以到达s点：如果可以，当前的点就可以通过邻居到达s点。不难想象，每一轮更新中至少有一个点到s的最短距离可以被确定下来，所以一共需要更新n轮，时间复杂度为O(n*m);
  • 图的表示方式：如果使用邻接矩阵，遍历边的过程依然为O(n*n)，并没有得到优化，因此使用数组存边或者邻接表来存图；
  • 代码实现：
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 5e3 + 10;
struct edge{int u, w, v; } e[MAXN*2];
int pre[MAXN],d[MAXN];//pre存放前置节点，d[i]存放s到点i的距离

void Print_path(int s, int t)//打印s到t的最短路径
{
    if(s == t) printf("%d",s);
    else 
    {
        Print_path(s,pre[t]);
        printf(" %d",t);
    }
}

void bellman(int n, int cnt)
{
    int s = 1;//s为起点
    memset(d,0x3f,sizeof(d));//初始化为最大值
    d[s] = 0;//s到自己的距离为0
    for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=0; i<cnt; i++)
        {
            int x = e[i].u, y = e[i].v;
            if(d[x] > d[y] + e[i].w)
            {
                d[x] = d[y] + e[i].w;
                pre[x] = y;
            }
        }
    printf("%d
",d[n]);//打印s到n的最短距离
    Print_path(s,n);
    printf("
");
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        int cnt = 0;
        while(m--)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            e[cnt].u = a; e[cnt].v = b; e[cnt].w = c; cnt++;
            e[cnt].v = a; e[cnt].u = b; e[cnt].w = c; cnt++;
        }
        bellman(n,cnt);
    }
    return 0;
}
  • 判断负圈：很明显当负圈存在时，程序会一直存在距离更新，因此要判断循环次数是否超过了n，如果超过说明有负圈；
  • 优化后的代码：
bool bellman(int n, int cnt)
{
    int s = 1;//s为起点
    memset(d,0x3f,sizeof(d));//初始化为最大值
    d[s] = 0;//s到自己的距离为0
    bool updata = true;//updata表示上一轮有没有更新，如果有则继续更新，否则停止更新
    int k = 0;//k表示循环次数
    while(updata)
    {
        updata = false;//当前一轮还未进行过更新
        k++;
        if(k>n) return false;//循环次数超过n则返回有负圈
        for(int i=0; i<cnt; i++)
        {
            int x = e[i].u, y = e[i].v;
            if(d[x] > d[y] + e[i].w)
            {
                updata = true;//发生了更新操作
                d[x] = d[y] + e[i].w;
                pre[x] = y;
            }
        }
    }
    printf("%d
",d[n]);//打印s到n的最短距离
    Print_path(s,n);
    printf("
");
    return true;
}

SPFA算法（允许负边）

  • SPFA是对Bellman-Ford算法的优化。在Bellman-Floyd算法每一轮的更新中，如何确定当前节点v需不需要更新？很明显，当且仅当v的邻居节点的最短路径发生变动的时候，节点v才需要更新。SPFA算法使用BFS的思想，把需要更新的节点放进队列中，当队列为空时，算法结束。
  • 判断负圈：节点每进入一次队列即为当前节点更新了一次，由Bellman-Ford算法中的结论可知，当存在一个节点更新次数超过n次时，说明一定有负圈。
  • 代码实现(：
//基于邻接表
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 10;

struct edge
{
    int to,w;
};

vector<edge>e[MAXN];
int pre[MAXN];//记录路径
bool inq[MAXN];//是否在队列内，优化用
int Neg[MAXN];//记录循环次数判断负圈
int dis[MAXN];//记录最短距离

void print_path(int s, int t)//递归输出最短路径
{
        if(s == t) {printf("%d",s); return ;}
        print_path(s, pre[t]);
        printf(" %d",t);
}

void print_path2(int s, int t)//非递归的路径输出，适用于极端情况
{
        stack<int>ans;
        while(s!=t)
        {
            ans.push(t);
            t = pre[t];
        }
        printf("%d",s);
        while(!ans.empty())
        {
            printf(" %d",ans.top());
            ans.pop();
        }
        printf("
");
}

bool spfa(int s, int n)
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(inq,false,sizeof(inq));
    memset(Neg,0,sizeof(Neg));
    Neg[s] = 1;
    inq[s] = true;
    dis[s] = 0;
    queue<int>Q;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        inq[u] = false;
        for(int i=0; i<e[u].size(); i++)
        {
            int v = e[u][i].to;
            int w = e[u][i].w;
            if(dis[v] > dis[u] + w)
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                pre[v] = u;
                if(!inq[v]) 
                {
                    inq[v] = true;
                    Q.push(v);
                    Neg[v]++;
                    if(Neg[v] > n) return false;//返回值为false代表有负圈
                }

            }
        }
    }
    printf("%d
",dis[n]);
    print_path2(s,n);
    return true;
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            edge t = {b,c};
            e[a].push_back(t);
        }
        spfa(1,n);
    }
    return 0;
}

//基于链式前向星的SPFA算法
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int NUM = 1e6 + 10;

struct Edge
{
    int to,next,w;
}edge[NUM];
int cnt;
int head[NUM];
int dis[NUM];
bool inq[NUM];
int Neg[NUM];
int pre[NUM];

void print_path(int s,int t)//打印起点s到t的最短路径
{
    stack<int>ans;
    while(t!=s)
    {
        ans.push(t);
        t = pre[t];
    }
    printf("%d",s);
    while(!ans.empty())
    {
        printf(" %d",ans.top());
        ans.pop();
    }
    printf("
");
}

void init()//前向星的初始化
{
    for(int i=0; i<NUM; i++)
    {
        edge[i].next = -1;
        head[i] = -1;
    }
    cnt = 0;
}

void addedge(int u, int v, int w)//前向星的加边操作
{
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].w  = w;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

bool spfa(int s, int n)
{
    memset(inq,false,sizeof(inq));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(Neg,0,sizeof(Neg));
    Neg[s] = 1;
    dis[s] = 0;
    inq[s] = true;
    queue<int>Q;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int u = Q.front(); Q.pop();
        inq[u] = false;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to; int w = edge[i].w;
            if(dis[v] > dis[u] + w)
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                pre[v] = u;
                if(!inq[v])
                {
                    Q.push(v);
                    inq[v] = true;
                    Neg[v]++;
                    if(Neg[v] > n) return false;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d
",dis[n]);
    print_path(s, n);
    return true;
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        init();
        while(m--)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            addedge(a, b, c);
        }
        spfa(1, n);
    }
    return 0;
}

Dijkstra算法（无法求负边）

  • Dijkstra算法应用了贪心的思想，即从起点开始抄近路走。类似于多米诺骨牌，即从起点开始推倒骨牌，当节点第一次被到达时最短路径被确定。
  • 代码借助STL中的优先队列完成，每次取出到S距离最短的节点来模拟多米诺骨牌模型。
//基于邻接表
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int NUM = 1e5;

struct edge
{
    int from, to, w;
    edge(int a, int b, int c)
    {
        from = a;
        to = b;
        w = c;
    }
};
vector<edge>e[NUM];

struct s_node
{
    int id, n_dis;
    s_node(int b, int c)
    {
        id = b;
        n_dis = c;
    }
    bool operator < (const s_node & a) const
    {
        return n_dis > a.n_dis;
    }
};
int dis[NUM];
bool done[NUM];

int pre[NUM];//记录前驱结点
void print_path(int s, int t)
{
    stack<int>ans;
    while(s != t)
    {
        ans.push(t);
        t = pre[t];
    }
    printf("%d",s);
    while(!ans.empty())
    {
        printf(" %d",ans.top());
        ans.pop();
    }
    printf("
");
}

void dijkstra(int s,int n)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(done, false, sizeof(done));
    dis[s] = 0;
    priority_queue<s_node>Q;
    Q.push(s_node(s, dis[s]));
    while(!Q.empty())
    {
        s_node u = Q.top();
        Q.pop();
        if(done[u.id])
            continue;
        done[u.id] = true;
        for(int i=0; i<e[u.id].size(); i++)
        {
            edge y = e[u.id][i];
            if(done[y.to])
                continue;
            if(dis[y.to] > y.w + u.n_dis)
            {
                dis[y.to] = y.w + u.n_dis;
                Q.push(s_node(y.to, dis[y.to]));
                pre[y.to] = u.id;
            }
        }
    }
    printf("%d
",dis[n]);
    print_path(s, n);
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        if(n==0 && m==0) break;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            e[i].clear();
        while(m--)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            e[a].push_back(edge(a,b,c));
            e[b].push_back(edge(b,a,c));
        }
        dijkstra(1, n);
    }
    return 0;
}
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