树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。
树状数组的解法和程序网上有很多，这里我想思考一下这种算法的灵魂，也就是基于什么样的契机和灵感产生了这种绝妙的想法。这是我感兴趣的方向。
这种算法，主要用于查询数组中任意两个数之间的所有元素之和，而且这个数组我们会经常修改里面任意的数。
如果抛弃修改数组这个操作，也就是原数组是不变的，只是做查询的话，我们会很容易想到一种方法。
设 原数组 a[n]，我们可以构造另一个数组c[n]，取任意下标i，让 c[i] = a[1] + a[2] + …… + a[i]
这样如果我们要计算 下标k和j之间的数的和（包括k和j），sum = c[j] - c[k-1]
因此只要构建了数组c[n]，查询操作的时间复杂度都是 o(1) 级别的，非常快
如果加入了修改操作的话，上边的方法就不太适合了，因为如果 修改了 a[i]，对应的 c[i]、c[i+1]、……、c[n]，都要因此修改。这修改后的时间复杂度是 o(n) 级别的，虽然查询操作还是 o(1) ，但如果修改操作很多，这种方法显然不适合。
如果说在这种方法之上改进一下，让修改操作的时间复杂度减少，查询操作时间复杂度增加，树状数组这种算法就做到了这一点，让 修改和查询的时间复杂度都统一为o(log(n))，log(n)的好处是n越大，带来的效率优化就越高
让我们看下改进后的区别
原来：
c[1] = a[1]
c[2] = a[1] + a[2]
c[3] = a[1] + a[2] + a[3]
...
c[n] = a[1] + a[2] + a[3] + …… + a[n]
改进后：
c[1] = a[1]
c[2] = a[1] + a[2]
c[3] = a[3]
c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]
c[5] = a[5]
c[6] = a[5] + a[6]
c[7] = a[7]
c[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]
...
c[n] = a[n – 2^k + 1] + ... + a[n] 【其中k为n二进制末尾0的个数】
从改进后的规律来看，如果我们修改了a[i]，我们就不用将所有c[i]之后的元素都修改了，而是有所选取的修改。这个修改的时间复杂度是o(log(n))，可以从n – 2^k + 1这个下标公式看出来。
用一张树状图来表示的话会非常直观
查询操作的话，以计算前n个数的和为例，
sum(7) = c[7] + c[6] + c[4] = c[0x111] + c[0x110] + c[0x100]
sum(10) = c[10] + c[8] = c[0x1010] + c[0x1000]
sum(13) = c[13] + c[12] + c[8] = c[0x1101] + c[0x1100] + c[0x1000]
看到这里聪明的你应该会发现一些规律，以7的二进制 0x111 为例，从右到左逐渐去掉1, 0x110,0x100 也就是 6 和 4，因此得到 c[7] + c[6] + c[4]
用这种方法就能求出前n个数的和，然后如果我们要计算 下标k和j之间的数的和（包括k和j），sum = c[j] - c[k-1]
程序如下：
#include <stdio.h> //#include <windows.h> #include <string.h> #define MAX 1000001 int c[MAX]; // 用此方法可以计算二进制数从右到左数第一个1出现的数 // 例子： // 1————1 // 10————10 // 110100————100 // 10111————1 // 10000————10000 int lowbit(int t) { return t&(-t); //return n&(n^(n-1)); } // 修改数组中某个数，delta是增量 void modify(int n, int delta) { while(n <= MAX) { int d; c[n] += delta; n += lowbit(n); } } // 求前n个数的和 int sum(int n) { int result = 0; while(n != 0) { result += c[n]; n -= lowbit(n); } return result; } int main() { int N = 0, M = 0, i = 1; scanf("%d %d", &N, &M); memset(c, 0, sizeof(c)); while(N--) { int temp; scanf("%d", &temp); modify(i++, temp); } while(M--) { char s[10]; int I = 0, A = 0, num; scanf("%s %d %d", &s, &I, &A); if(strcmp(s, "QUERY") == 0) { num = sum(A) - sum(I-1); printf("%d ", num); } else if(strcmp(s, "ADD") == 0) { modify(I, A); } } //system("pause"); }
总结：在无修改操作的情况下，我们用c[n]来表示数组a中前n个数的和sum(n)，在有修改操作的情况下，我们还是用数组c中的数来表示sum(n)，不同的是，这里的会用到多个数如 c[i]、c[j]、c[k]……，而如何通过n来找到i，j，k……这些相关数和构造出数组c，就是树形数组这种算法的关键所在——将数n分解为2的次方数，如2、4、8、16。