数论题：线性方程
看了《数论概论》的相关章节-《线性方程与最大公因数》
首先是要证明一个方程必定有整数解
ax+by=gcd(a,b); 为方便 g=gcd(a,b), ax+by=g
这个证明有些复杂就不写了，而如何构造一个可行解（x1，y1）其实也在证明过程中
在得到一个可行解后就可以得到无数组解，他们是（x1-k*(b/g) , y1+k*(a/g)） ， （其中g=gcd（a，b），k是整数）
而对于方程ax+by=c，只要c是g倍数那么就有整数解，否则没有
看完原题，p是x/k的下整，q是x/k的上整，然后p*m+q*n=x，这个方程其实就是ax+by=c的形式，而且这个方程一定有整数解
因为d=gcd(p,q)，若p=q，d=p，若p！=q即|p-q|=1，则d=1
所以无论如何x一定是d的倍数，这个方程一定有整数解
然后先用floor和ceil处理出p，q，然后直接套模板去求解就可以了
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可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)； p，q分别为ax+by=gcd(a,b)解出的x，y； 补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 对于不定整数方程xa+yb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
//学会使用两个c语言的函数，floor取下整，ceil取上整 #include <cstdio> #include <cmath> void gcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y) { if(!b) { d=a; x=1; y=0; } else { gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); } } int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--) { long long a,b,c,d,k,x,y; scanf("%lld%lld",&c,&k); a=floor(1.*c/k); //取下整 b=ceil(1.*c/k); //取上整 gcd(a,b,d,x,y); x*=c/d; y*=c/d; printf("%lld %lld\n",x,y); } return 0; }
另外这个模板的一些细节
void gcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y) { if(!b) { d=a; x=1; y=0; } else { gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); } }
注意这个是求ax+by=gcd(a,b)的一个解(x0,y0)的。在这里a对应x，b对应y。而a和b的大小没有限制
调用时写 gcd(a,b,d,x,y) 或者 gcd(b,a,d,y,x) 都是正确的
但是 gcd(a,b,d,y,x) 或者 gcd(b,a,d,x,y) 是错误的
因为 y-=x*(a/b)是和 这个式子 ax+by=gcd(a,b) 相对应的
同样的普通的gcd
int gcd(int a ,int b)
{ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
a和b的大小并没有要求，只不过a<b的话会做多一层递归而已，本质是一样的