线性代数期末复习小结以及常见题型的解法

1、角与向量

a·b的另一种表示法：(a, b)

a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn

a·b = |a||b|·cosθ

|a| = √(a1^2+ a1^2 + … + an^2)

向量单位化 e = a/|a|

2、A、A^-1、A*、|A|

AA*=A*A=|A|E

A^-1=A*/|A|

若A为方阵，则|A*|=|A|^（n-1）

3、求行列式

求行列式的两种方法

① 化为上三角矩阵或者下三角矩阵或者对角矩阵，行列式的值为对角线各项元素的积

② 代数余子式法

行初等变换对行列式的影响

① 交换一次行与行：行列式的值变为原来的负值

② 某一行乘以k：行列式的值变为原来的k倍

③ 将一行的k倍加到其他行上：行列式的值保持不变

4、求逆矩阵

① 伴随矩阵法 A^-1=A*/|A|

② 初等变换法将A | E 通过初等变换变为 E | A^-1

5、线性方程组：A为系数矩阵 A’为增广矩阵 n为方程组未知数的个数

若R(A) ≠ R(A’) 则非齐次线性方程组无解

若R(A) = R(A’)，则

① 若R(A) = n 则齐次线性方程组有唯一的零解

② 若R(A) < n 则齐次线性方程组有无数解，以及n-R(A)个解向量和自由未知量

解齐次线性方程组的步骤

① 写出系数矩阵，用初等行变换法，化为行阶梯形矩阵判断齐次线性方程组解的情况

② 若R(A) < n，写出行阶梯形矩阵对应的方程组，且有n-R(A)个自由未知量

③ 把非线性无关的变量作为自由未知量，进行线性无关的赋值，得到n-R(A)个通解

④ 根据通解写出基础解系

解非齐次线性方程组的步骤

① 将增广矩阵通过行初等变换化为行阶梯形矩阵，若R(A) = R(A’), 则非齐次线性方程有解

② 根据行阶梯形矩阵的系数矩阵部分，按求解其次线性方程组的方法，写出通解部分

③ 根据行阶梯形矩阵，写出对应的方程组，将非线性无关的自由未知量赋以任意值，求出非齐次线性方程组的一个特解

④ 根据特解+通解，写出基础解系

6、求向量组的极大无关组

① 将向量组中的向量组按列排成矩阵

② 将矩阵转换为行最简矩阵

③ 极大无关组即为1所在且其余皆为0的各个列

④ 按行写出方程即可得到其余向量的该极大无关组的线性组合

7、求特征值与特征向量

若Ax = λx，则λ为特征值，x为特征向量

① 求(A-λE)x=0,即|A-λE|=0,得到λ的值

② 将λ带进齐次线性方程组(A-λE)x=0，求解这个其次线性方程组，得到的通解即为对应特征值的特征向量

8、标准型

1) 已知f(x1,x2,…,xn) （含未知数t）正定，求t的取值范围

① 写出二次型代表的矩阵 (以三阶矩阵为例)

② 写出方程组|a1|>0、 ||>0、||>0

③ 解上面的不等式组，得到t的取值范围

2) 求二次型f(x1,x2,…,xn)的可逆的线性变换

① 将二次型化为只含有二次项的式子

② 用y1、y2、…、yn取代各个二次项

③ 再将x1,x2,…,xn用y1、y2、…、yn表示，即X = AY

④ 矩阵A即为变换矩阵

3) 求二次型f(x1,x2,…,xn)的正交变换

① 写出二次型对应的矩阵A

② 使用Ax=λx，求出A的特征值以及特征向量

③ 求对应特征值的标准正交特征向量

④ 将标准正交特征向量按列排序，得到正交矩阵P，且满足P^-1AP=

⑤ 取正交变换x = Py，f可化成f = λ1y1 + … λnyn

9、向量的标准正交化

施密特正交法

设n维向量组a1, a2, … ,an线性无关，令

b1 = a1, 则

b2 = a2 - [(a2,b1)/(b1,b1)]*b1

b3 = a3 - [(a3,b1)/(b1,b1)]*b1 - [(a3,b2)/(b2,b2)]*b2

…

bn = an - [(an,b1)/(b1,b1)]*b1 - [(an,b2)/(b2,b2)]*b2 - … - [(an,bn-1)/(bn-1,bn-1)]*bn-1

最后再将b1, b2, … ,bn单位化得到的e1, e2, … ,en即为标准正交向量组