国庆集训数论总结

扩展欧几里得

int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)return x;
    return gcd(y,x%y);
}

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y){
    int t;
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;
    }
}

合并同余方程组

[x;mod;a=k \ x;mod;b=p ]

设(x=s_1 imes a+k=s_2 imes b+p)

移项得(s_1 imes a-s_2 imes b=p-k)

此时可将(s_1,s_2)看做求解方程(ax+by=c)的(x,y)，此时用扩展欧几里得求解通解：

(x=s_1 imes a + k)

(x=x_0 imes a+k+K imes [a,b])

(x\%[a,b]=x_0 imes a+k)

组合数

(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m})杨辉三角组合数递推式可以理解为一个DP转移

(C_n^m=frac{A_n^m}{m!})因为取出的(m)个数共有(m!)种排列

逆元

求组合数通项公式时可用逆元前缀积(C_n^m=fac[n] imes preinv[m] imes preinv[n-m])

欧拉函数

(phi(i))(1)到(i)中有多少数与(i)互质

对于质数(p)

(phi(p)=p-1)小于自己的都互质
(phi(p^k)=(p-1) imes p^{k-1})

欧拉定理(a^{phi(n)}equiv 1(mod;n))

推论：(xequiv y(mod;phi(n)))，则(a^xequiv a^y(mod; n))

(a imes a^{phi(n)-1}equiv 1(mod;n))所以当(n)为质数时，(a)的逆元为(a^{n-2})（同费马小定理）

求(a^{b^{c}}mod;n)，利用推论将(b^cmod;phi(n))再继续算

线性筛

( ext{Miller_Rabin})算法(O(log_n))判断是否为质数

埃氏筛复杂度(n+n/2+n/3+cdots+n/n=O(nlog_n))

线性筛

for(register int i=2;i<=n;++i){
    if(!notp[i]) p[cnt++]=i;
    for(int j=0;j<cnt;++j){
        if(i*p[j]>n) break;
        notp[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0) break; // 保证线性筛，每个数只会被其最小质因子筛掉
    }
}

另一种可同时求出最小质因数（MinP[]）的版本

for(int i=2;i<=n;++i){
    if(!MinP[i]) MinP[i]=i,prime[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;++j){
        if(i*prime[j]>n) break;
        MinP[i*prime[j]]=prime[j];
        if(i%prime[j]==0) break;
    }
}

积性函数

定义域为(N^+)，满足：

(f(1)=1)
若((a,b)=1)，则(f(a) imes f(b)=f(a imes b))

对(x)分解质因数(x=p_1^{k_1} imes p_2^{k_2}cdots p_n^{k_n})

则(f(x)=f(p_1^{k_1}) imes f(p_2^{k_2})cdots f(p_n^{k_n}))

常见积性函数：

(Id(x)=x)：单位函数
(Id_k(x)=x^k)幂函数
(phi)欧拉函数
莫比乌斯函数
单元函数
(1(x)=1)
(d(x))表示(x)的约数个数（分解质因数后选与不选(k+1)种情况）

求解

f[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
	int j=i/MinP[i];
	if(MinP[j]==MinP[i])w[i]=w[j];
	else w[i]=j;
	if(w[i]==1){
		// i为pk ，直接计算
	}
	else f[i]=f[w[i]]*f[i/w[i]];
}

狄利克卷积

运算符(*)

(f*g=h,h(x)=sum_{d|x}f(d) imes g(x/d))

满足交换律、结合律、加法分配率

定理：两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数