题目

有个N*M的棋盘上面放了一个机器人，坐标为$(i,j)$。这个机器人会从向左、向右、向下、不移动四种命令中选择执行，当处于最左端时不选择向左命令，最右端时不选择向右命令，每次都会等概率地选择可以选择的命令之一。问期望执行多少条命令可以到达最低端。

1 ≤ N, M ≤ 1000

题解

设dp[i][j]为从(i,j)到最低端执行命令条数的期望，那么

当宽度>=2时

[dp[i][1]=frac{1}{3}(dp[i][1]+dp[i+1][1]+dp[i][2])+1]

[dp[i][m]=frac{1}{3}(dp[i][m]+dp[i+1][m]+dp[i][m-1])+1]

[dp[i][k]=frac{1}{4}(dp[i][k]+dp[i+1][k]+dp[i][k+1]+dp[i][k-1])+1,quad 1<k<m]

如果把dp[i+1][t]看作已知数，那么就有m个方程，m个未知数，可以用高斯消元得到dp[i][t]的值

这样的转移会执行n-i次

当宽度==1时

[dp[i][1]=frac{1}{2}(dp[i+1][1]+dp[i][1])+1]

得到

[dp[i][1]=dp[i+1][1]+2]

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define REP(i,a,b) for(register int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(register int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(register int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,x,y;
double a[1007][1007];
double dp[1007];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	scanf("%d%d", &x, &y);
	memset(a,0,sizeof a);
	memset(dp,0,sizeof dp);
	if(m>1) {
		REP(_,x,n) {
			a[1][1]=2.0/3; a[1][2]=-1.0/3; a[1][m+1]=dp[1]/3+1;
			a[m][m-1]=-1.0/3; a[m][m]=2.0/3; a[m][m+1]=dp[m]/3+1;
			REP(i,2,m) {
				a[i][i-1]=-1.0/4; a[i][i]=3.0/4; a[i][i+1]=-1.0/4; a[i][m+1]=dp[i]/4+1;
			}
			a[1][2]/=a[1][1]; a[1][m+1]/=a[1][1]; a[1][1]=1;
			REPE(i,2,m) {
				a[i][i]-=a[i-1][i]*a[i][i-1];
				a[i][m+1]-=a[i-1][m+1]*a[i][i-1];
				double t=1.0/a[i][i];
				a[i][i]=1;
				a[i][m+1]*=t;
				if(i==m) break;
				a[i][i+1]*=t;
			}
			PERE(i,m-1,1) {
				a[i][m+1]-=a[i][i+1]*a[i+1][m+1];
			}
			REPE(i,1,m) dp[i]=a[i][m+1];
		}
		printf("%.10lf
", dp[y]);
	} else {
		double ans=(n-x)*2;
		printf("%.10lf
", ans);
	}
	
	return 0;
}