题目

某人很无聊，想给树上N个节点的每一个节点填一个1~N中的一个数。满足

所有填的数字都不同
距离为3的两个节点的两个数要么和是3的倍数，要么积是3的倍数

$2leqslant Nleqslant 2 imes 10^5$

题解

其实我不会，这是个构造题……

记一下之前的思路：

树上的点可以用距离为3的倍数这个等价关系分成3个商集
然后对3个树涂色，然后一顿乱涂，发现规约到NPC问题上去了……

把数字按照mod 3分成3类：A，B，C

相邻两个节点的颜色可以是A-B，A-C，B-C，C-C

C可以用来代替A或B，那么用A涂白色，B涂黑色，多余的部分用C涂

有个例外：$A+C$还不够涂白色，这时$B$肯定大于黑色的数量，因为A，B，C相差不超过1，因此等价于C大于等于黑色，用C涂黑色，剩下的随便涂

总结一下：

如果C大于等于黑色，那么用C涂黑色，剩下的随便涂

如果C大于等于白色，那么用C涂白色，剩下的随便涂

否则这时候A小于等于白色，B小于等于黑色，A涂白色，B涂黑色，不够的用C涂

这样就解决了1棵树的相邻节点的问题，距离为3可以拆成3个树，然后就解不出来了……

其实仍然可以用相邻节点，距离为3肯定保证不会出现A-A或B-B，这样就保证一定能构造出来

[egin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}^3=egin{pmatrix}0 & 1\1&0end{pmatrix} ]

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define REP(i,a,b) for(register int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(register int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(register int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MAXN 200007
int hd[MAXN<<1], nxt[MAXN<<1], to[MAXN<<1], m=0;
inline void adde(int a, int b) {
	nxt[m]=hd[a]; hd[a]=m; to[m]=b; m++;
}
int q[MAXN], c[MAXN], ans[MAXN], vis[MAXN];
int use[3]={1,2,3};
int n;
int go(int v) {
	if(use[v]>n) {
		int r=use[2];
		use[2]+=3;
		return r;
	}
	int r=use[v];
	use[v]+=3;
	return r;
}
inline void bfs1() {
	int f=0, r=0;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	ans[0]=0, ans[1]=0;
	q[f++]=1; c[1]=0; vis[1]=1; ans[0]++;
	while(r<f) {
		int n=q[r], s=c[n]^1; r++;
		for(int i=hd[n]; ~i; i=nxt[i]) {
			int t=to[i];
			if(!vis[t]) {
				vis[t]=1;
				c[t]=s;
				ans[s]++;
				q[f++]=t;
			}
		}
	}
}
int main() {
	memset(hd,-1,sizeof hd);
	scanf("%d", &n);
	REP(i,0,n) {
		int a,b; scanf("%d%d", &a, &b);
		adde(a,b); adde(b,a);
	}
	bfs1();
	if(ans[0]<=n/3) {
		int now=1, c2=3;
		REPE(i,1,n) {
			if(c[i]==0) {ans[i]=c2;c2+=3;}
		}
		REPE(i,1,n) {
			if(c[i]==1) {
				if(now%3==0 && now<c2) now++;
				ans[i]=now;
				now++;
			}
		}
	} else if(ans[1]<=n/3) {
		int now=1, c2=3;
		REPE(i,1,n) {
			if(c[i]==1) {ans[i]=c2;c2+=3;}
		}
		REPE(i,1,n) {
			if(c[i]==0) {
				if(now%3==0 && now<c2) now++;
				ans[i]=now;
				now++;
			}
		}
	} else {
		REPE(i,1,n) {
			ans[i]=go(c[i]);
		}
	}
	REPE(i,1,n) { if(i>1)putchar(' ');
		printf("%d", ans[i]);
	}
}