题目

有一个 $n imes m$ （$1leqslant n,mleqslant10^5$）的网格，每个格子里都有一个机器人，每次可以发出以下4种指令之一：NORTH、SOUTH、EAST、WEST，作用是让所有机器人往相应方向走一格。如果一个机器人在执行某一命令后走出了网格，则它会立即炸毁。

给出4种指令的总条数（$0leqslant C_N,C_S,C_W,C_Eleqslant 10^5$），求一种指令顺序使得所有机器人执行的命令条数之和最大。炸毁的机器人不再执行命令。

题解

神题……虽然看起来很简单，但细节一大堆

尝试从网上搜索题解，但貌似都有点问题……

想了三天，只说下策略了……

首先处理数据，让$Nleqslant S$且$Wleqslant E$，第一次考虑是东西来回还是南北来回

一开始就来回肯定比后面来回更优

先S再N肯定比先N再S更优，因为如果先执行N会比先执行S少用一次S，多出来的S会在后面执行，能执行这条指令的机器人肯定比现在少。

同理可得先E后W

第一个到底是选东西来回还是南北来回可以推公式（不敢推= =），也可以都算一遍，得到最后结果以后取最大

因为可以通过交换得到，因此我们选东西来回，于是只剩下东和南北

选了以后就进行下图这种选择

粗箭头表示南北来回

目标是从$x imes y$走到$x' imes y'$的和最大

虽然可以直接模拟出所有情况，但看到这题$1leqslant n,mleqslant10^5$感觉$O(n^2)$很悬……不敢写

现在把问题分解成几个

1.第一行每个位置向下移动包含了多少面积（左闭右开，方便加）

2.从$x imes y$走到$x' imes y'$（不经过粗箭头）的和最大是多少

3.从第一行什么位置向下最优

3可以$mathcal{O}(n)$得出，1和2只能用$mathcal{O}(1)$了

1直接推公式就好了……

2也是推公式，虽然比较麻烦

可以证明尽量往正方形走最好（减少长边），因为如果减少短边损失更大，并且后面补不回来了

因此可以分成两种情况

2.1起始点和目标点都在y=x的一侧

可以把右边那种情况通过交换x,y（关于y=x对称）得到左边那种

易得

[S=frac{{xy + x'y}}{2} imes left( {x - x' + 1} ight) - x'y + frac{{x'y + x'y'}}{2} imes left( {y - y' + 1} ight) - x'y']

2.2起始点和目标点在y=x的两侧（上）

需要用平方和公式

[sumlimits_{i = 1}^n {{i^2}} = frac{{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)}}{6}]

为了简洁，设：

[M_1=max{x,y}, m_1=min{x,y}]

[M_2=max{x',y'}, m_2=min{x',y'}]

易得

[S=S_1+S_2+S_3]

[S_1=frac{{xy + m_1^2}}{2} imes left( {{M_1} - {m_1} + 1} ight) - m_1^2]

[S_3 = frac{{x'y' + M_2^2}}{2} imes left( {{M_2} - {m_2} + 1} ight) - x'y']

[{S_2} = left[ {frac{{{m_1}left( {{m_1} + 1} ight)left( {2{m_1} + 1} ight)}}{6} - frac{{{M_2}left( {{M_2} + 1} ight)left( {2{M_2} + 1} ight)}}{6}} ight] imes 2 - left( {frac{{{m_1} + {M_2}}}{2} imes left( {{M_2} - {m_1} + 1} ight) - {M_2}} ight)]

如何判断在两侧呢，这可以用向量外积……

还要注意某一方向不移动的情况（不知道为什么会变成特例= =，面向样例和对拍程序的编程）

时间复杂度$mathcal{O}(n)$

AC代码：

#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(r,x,y) for(register int r=(x); r<(y); r++)
#define REPE(r,x,y) for(register int r=(x); r<=(y); r++)
#ifdef sahdsg
#define DBG(...) printf(__VA_ARGS__)
#else
#define DBG(...)
#endif
 
typedef long long LL;

inline bool lc(LL x, LL y, LL x_, LL y_) {
	LL vect1z = y_-x;	//(1,1)X(x,y_)
	
	if(vect1z<0) vect1z=-1;
	else if(vect1z==0) vect1z=0;
	else if(vect1z>0) vect1z=1;
	
	LL vect2z = y-x_;	//(1,1)X(x_,y)
	
	if(vect2z<0) vect2z=-1;
	else if(vect2z==0) vect2z=0;
	else if(vect2z>0) vect2z=1;
	
	return vect1z*vect2z<=0;
}

inline LL get1(LL x, LL y, LL x_, LL y_) {
	if(y>x) {
		swap(x,y), swap(x_,y_);
	}
	LL _1 = (x*y+x_*y)*(x-x_+1)/2 - x_*y + (x_*y+x_*y_)*(y-y_+1)/2 - x_*y_;
	return _1;
}

inline LL get2(LL x, LL y, LL x_, LL y_) {
	LL M1 = max(x,y), m1 = min(x,y);
	LL M2 = max(x_,y_), m2 = min(x_,y_);
	LL _1 = (x*y+m1*m1)*(M1-m1+1)/2-m1*m1;
	LL _3 = (x_*y_+M2*M2)*(M2-m2+1)/2-x_*y_;
	LL _2 = ((m1*(m1+1)*(2*m1+1))/6-(M2*(M2+1)*(2*M2+1))/6)*2 
			-((m1+M2)*(m1-M2+1)/2-M2);
	return _1+_2+_3;
}

inline LL get4(LL x, LL y, LL x_, LL y_) {
	x_ = max(0LL,x_), y_ = max(0LL,y_);
	if(lc(x,y,x_,y_)) {
		return get2(x,y,x_,y_);
	}else{
		return get1(x,y,x_,y_);
	}
}

inline LL getWE(LL &x, LL &y, LL &E, LL &W) {
	LL _1 = 2*W * (x-1)*y+y;
	E-=W, x--;
	if(E) _1 += x*y,E--;
	return _1;
}

inline LL getNS(LL &x, LL &y, LL &S, LL &N) {
	LL _1 = 2*N * x*(y-1)+x;
	S-=N, y--;
	if(S) _1 += x*y,S--;
	return _1;
}

LL n,m,N,S,W,E;

inline LL solve(LL n, LL m, LL N, LL S, LL W, LL E) {
	LL ans=0;
	if(S<N) swap(S,N);
	if(E<W) swap(E,W);
	if(m>1) {
		if(W>0) {
			ans+=getWE(m,n,E,W);
		} else if(E>0) {
			ans+=m*n, E--, m--;
		}
	}
	LL mx=-1;
	LL _2=ans;
	E = min(E,m);
	while(E>=0) {
		LL _m=m, _n=n, _S=S, _N=N;
		LL _1=_2;
		if(_n>1)_1+=getNS(_m,_n,_S,_N);
		
		_1+=get4(_m,_n,_m-E,_n-_S);
		mx = max(mx,_1);
		_2+=m*n;
		E--,m--;
	}
	return mx;
}

inline LL solve2(LL n, LL m, LL W, LL E) {
	LL ans=0;
	if(S<N) swap(S,N);
	if(E<W) swap(E,W);
	if(m>1) {
		if(W>0) {
			ans+=getWE(m,n,E,W);
		} else if(E>0) {
			ans+=m*n, E--, m--;
		}
	}
	E = min(E,m);
		
	ans+=get4(m,n,m-E,n);
	return ans;
}

int main() {
	#ifdef sahdsg
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
	#endif
	int kase = 0;
	while(~scanf("%lld%lld", &n, &m) && n) {
		kase++;
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &N, &S, &W, &E);
		if(N||S||W||E) {
			if(N+S && W+E)
				printf("Case %d: %lld
", kase, max(
					solve(n,m,N,S,W,E),
					solve(m,n,W,E,N,S)
				)
				);
			else {
				if(N+S) {
					printf("Case %d: %lld
", kase, solve2(m,n,N,S));
				} else {
					printf("Case %d: %lld
", kase, solve2(n,m,W,E));
				}
			}
		} else
			printf("Case %d: 0
", kase);
	}
	return 0;
}

AC后真的激动得哭