变限积分求导公式证明及其推论
1.变上限积分
- 若函数 (f (x))在$[a, b] (上连续 , 对任意) x∈[a, b]$, 定义变上限定积分 ：
[Φ(x) = int_a^xf (t) dt ，x∈[a, b]
]
2.引理
- 若函数 (f (x)) 在 $[a, b] $上连续，则变上限定积分 (Φ(x) = int_a^xf (t) dt ，x∈[a, b]) 在$ [a, b] $上可导 , 且 (Φ' (x) = f (x)).
证明：
任取(x∈[a, b])，改变量( riangle x)满足(x+ riangle xin[a,b])，对应的改变量( rianglePhi=Phi(x+ riangle x)-Phi(x))满足：
[egin{align}
rianglePhi=&Phi(x+ riangle x)-Phi(x)\
=&int_a^{x+ riangle x}f(t)dt-int_a^{x}f(t)dt\
=&int_x^{x+ riangle x}f(t)dt
end{align}
]
由积分中值定理：
[egin{align}
&existxiin[x,x+ riangle x]sub[a,b]\
s.t.& oint_x^{x+ riangle x}f(t)dt=f(xi)cdot riangle x\
herefore f(xi)&=frac{int_x^{x+ riangle x}f(t)dt}{ riangle x}
end{align}
]
因为(f(x))在([a,b])上连续，所以：
[lim_{ riangle x o0}f(xi)=f(x)
]
即:
[f(x)=lim_{ riangle x o0}frac{int_x^{x+ riangle x}f(t)dt}{ riangle x}=frac{d}{dx}(int_a^{x}f(t)dt)
]
3.重要推论
若函数(f(x))在([a,b])上连续，(phi(x),varphi(x))在([a,b])上可微，则
[frac{d}{dx}(int_{varphi(x)}^{phi(x)}f(t)dt)=f(phi(x))phi'(x)-f(varphi(x))varphi'(x)
]
证明：
这里只给出积分上限为复合函数的情况下的证明，下限同理。
设(F(x))是(f(x))的一个原函数，设：
[egin{cases}
u=phi(x)\
v=varphi(x)
end{cases}，xin[a,b]
]
则原式为：
[egin{align}
frac{d}{dx}(int_{a}^{phi(x)}f(t)dt)=&
frac{d}{dx}(int_{a}^{u}f(t)dt)\
（由链式求导法则）=&frac{du}{dx}cdotfrac{d}{du}(int_{a}^{u}f(t)dt)\
（由引理）=&frac{du}{dx}cdot f(u)\
=&frac{d}{dx}phi(x)cdot f(u)\
=&f(phi(x))cdotphi'(x)
end{align}
]
下限同理可证，于是可以得出：
[frac{d}{dx}(int_{varphi(x)}^{phi(x)}f(t)dt)=f(phi(x))phi'(x)-f(varphi(x))varphi'(x)
]