关于 二阶非齐次常系数线性微分方程 特解 的解法
考研期间遇到的一个很强大的解题技巧，但是步骤依然要用待定系数法写，不然没有过程分（口口相传，待考证），不过熟练掌握此方法可以极大的节约答题时间，遂本人讲看到的几份对自己收获大的资料进行总结整理，本着分享学习精神，写出以下文章。如有谬误，望大家不吝赐教。
若并不关心原理证明之类的，则可以直接看性质，或看例题（虽然我这么懒大概率不会往上敲例题）。
希望能给各位带来帮助，难理解之处我会添加注释 //
目录
一、定义
二阶非齐次常系数线性微分方程的一般形式如下：
[frac{d^2y}{dx^2}+pfrac{dy}{dx}+qy=f(x)，(p、q为常数)
]
引入微分算子：
[frac{d}{dx}=D，frac{d^2}{dx^2}=D^2，cdots，frac{d^n}{dx^n}=D^n
]
于是有：
[frac{dy}{dx}=Dy，frac{d^2y}{dx^2}=D^2y，cdots，frac{d^ny}{dx^n}=D^ny\
frac{1}{D^n}=underbrace{intcdotsint}_{共n次} f(x)(dx)^n\
frac{1}{D+K}f(x)=frac{1}{K}(1-frac{D}{K}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K^n}+cdots)f(x)
]
则(1)式可以简化为：
[egin{align}
f(x)&=qy+pDy+D^2y\
&=(D^2+pD+q)y\
::&=F(D)y，称F(D)为“算子多项式”
end{align}
]
则式（1）的特解(y^*)为：
[y^*=frac{1}{F(D)}f(x)
]
二、引理若干
这些我才懒得证明，别想了哼 (ˉ▽￣～)
2.1.1 算子多项式性质
设(f(x)、g(x))为可微函数：则有
- (F(D)[alpha f(x)+eta g(x)]=alpha F(D)f(x)+eta F(D)g(x))
- 设(F(D)=F_1(D)F_2(D))，则有(F(D)f(x)=F_1(D)[F_2(D)f(x)]=F_2(D)[F_1(D)f(x)])
- 设(F(D)=F_1(D)+F_2(D))，则(F(D)f(x)=F_1(D)f(x)+F_2(D)f(x))
2.1.2 算子多项式の公式
设k,a为任意常数，v(x)为二阶可导多项式，则
- (F(D)e^{kx}=e^{kx}F(k))
- (F(D^2)sin{ax}=sin{ax}F(-a^2)、F(D^2)cos{ax}=cos{ax}F(-a^2))
- (F(D)e^{kx}v(x)=e^{kx}F(D+k)v(x))
- (F(D)xv(x)=xF(D)v(x)+F'(D)v(x))
三、一些性质
3.1 逆算子移位原理
[frac{1}{F(D)}e^{kx}v(x)=e^{kx}frac{1}{F(D+k)}v(x)
]
- 若(F(k) eq0)，则：
[frac{1}{F(D)}e^{kx}=e^{kx}frac{1}{F(k)}，此时F(k)已然是数值
]
- 若(F(k)=0)，则说明 k 为(F(k)=0) 的 m 重根，则有：
[frac{1}{F(D)}e^{kx}=x^mfrac{e^{kx}}{F^{(m)}(k)}
]
3.2 关于三角函数
欧拉公式：
[e^{reta x}=cos{eta x}+isin{eta x}\ cos{eta x}=Re[e^{ieta x}]，称为实部\ sin{eta x}=Im[e^{ieta x}]，称为虚部 ]
- 当(F(-a^2) eq0)时：
[frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=frac{sin{ax}}{F(-a^2)}\
frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=frac{cos{ax}}{F(-a^2)}\
]
- 当(F(-a^2)=0)时：
[frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=xfrac{1}{F'(D^2)}sin{ax}\
frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=xfrac{1}{F'(D^2)}cos{ax}\
]
-
[frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=Im[frac{e^{iax}}{F(ia)}]\ frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=Re[frac{e^{iax}}{F(ia)}]\ ]
3.3 含多项式的情况
设 k 为任意实数，v（x）为二阶可导函数，则：
[frac{1}{F(D)}P_m(x)=Q_m(D)P_m(x)
]
[frac{1}{F(D)}xv(x)=[x-frac{1}{F(D)}F'(D)]frac{1}{F(D)}v(x)
]
四、 公式（8）~（16）证明
引理（1）：若(p(x))为多项式，(v(x))为任意函数，那么有：
[p(D)e^{lambda x}v(x)=e^{lambda x}p(D+lambda)v(x)
]
引理（2）：设(f_p(x))为 p 次多项式，即(f_p(x)=a_0x^p+a_1x^{p-1}+cdots+a_p)，那么：
[frac{1}{prod_{i=1}^m(D+K)}f_p(x)
]
仍为 p 次多项式。
[egin{align} &ecausefrac{1}{D+K_1}f(x)=frac{1}{K_1}(frac{1}{1+frac{D}{K_1}})f_p(x)=frac{1}{K_1}(1-frac{D}{K_1}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K_1^n}+cdots)f_p(x)\ &ecause D^{n+1}f_p(x)=0,\ & herefore frac{1}{D+K_1}f(x)=frac{1}{K_1}(1-frac{D}{K_1}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K_1^n})f_p(x)\ & hereforefrac{1}{prod_{i=1}^m(D+K_i)}f_p(x)=[frac{1}{D+k_m}[cdots[frac{1}{D+K_1}f_p(x)]]]，仍为p次多项式 end{align} ]
五、 一些例子
- (frac{d^2y}{dx^2}+y=xcos{2x}，F(D)=1+D^2)
[egin{align} 特解：y^*&=frac{1}{1+D^2}xcos{2x}\ &=Re[frac{1}{1+D^2}xe^{2ix}]\ &=Re[e^{2ix}frac{1}{1+(D+2i)^2}x]，移位原理\ &=Re[e^{2ix}frac{1}{D^2+4iD-3}x]，（*）这一步我会贴图\ &=Re[e^{2ix}(-frac{1}{3}-frac49iD)x]\ &=Re[(cos{2x}+isin{2x})(-frac{1}{3}x-frac49i)],D::=frac{dy}{dx}\ &=frac{1}{3}xcos{2x}+frac{4}{9}sin{2x} end{align} ]
六、引用
- [1] 《常微分方程》王高雄、高等教育出版社“高阶微分方程中的拉普拉斯变换方法”
- [2 ] “"二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法" 李绍刚、徐安农”桂林电子科技大学学报“