堆排序中建堆过程时间复杂度O(n)怎么来的？

首先这个循环是从i = headsize/2 -> 1，也就是说这是一个bottom-up的建堆。于是，有1/2的元素向下比较了一次，有1/4的向下比较了两次，1/8的，向下比较了3次，......，1/2^k的向下比较了k次，其中1/2^k <= 1, k 约等于lg(n)。于是就有总的比较量：

T = ( $sum_{k = 1}^{lg(n)}{{1 over {2^k}} imes k}$ ) * n

令 S = $sum_{k = 1}^{lg(n)}{{1 over {2^k}} imes k}$

1/2 S = $sum_{k = 1}^{lg(n) - 1}{{1 over {2^{k+1}}} imes k} = {1 over 4} + {1 over 8} imes 2 + cdots + {1 over {2^{k+1}}} imes k$
S - 1/2S = 1/2S = ${1 over 2} + {1 over 4} + cdots + {1 over {2^k}} - {1 over {2^{k+1}}} imes k$
到这步就很明显了吧，S <= 2
于是T <= 2n => T = O(n).