写在前面：由于非科班出身，这里的证明过程笔者结合资料，掺杂了大量想象元素，因此读者阅读时应该谨慎取舍。
首先在给出高斯定理证明之前，我们要提前交代几个概念或者说理念：
微积分的思想：
其实微积分的思想真的是博大精深令人叹服，它最初进入我们的视野是求解运动过程中的瞬时速度，我们基于x-t图像，将区间无限分割，这导致△t趋近于0，这种极限的思想使得我们能够完成瞬时速度的计算，这其实就是一种微分操作，为了更好表征这种做法，数学家就发明了导数这个东西，联系导数的定义，会发现数学概念变得如此的自然可亲。
自然界是对称的，正是基于对对称性的深信不疑使得法拉第发现了电磁感应，同样在这里，我们有了微分这种无限分解性质的操作，对应着我们应该有一种取一个微小元然后堆积起来的操作，那么显而易见，这就是积分了。需要进行积分的问题非常常见，例如基于v-t图像的匀加速运动如何求解位移？基于极限这一核心思想，我们取一个微小元dt，由于其无限小的特性，这里我们可将其近似看成匀速运动，即dx=vdt，然后我们将所有的微小元积起来，就会得到整个过程的位移，这个过程也就是所谓的积分。而为了更好的表述这个过程，我们同样需要有力的数学工具，考虑到它和微分是互逆的运算过程(这里可以联系一下离散的关系论？)，我们直接基于导数来定义积分运算即可。积分的技术在我们处理曲线曲面问题的时候会产生重要的作用。
以上是对微积分核心思想的一个简化阐述，思想简洁明了但是其统治性却是非常强大的，随着学习微积分的深入会发现这门科学是多么的强大。当然这里限于笔者水平给出的描述并不严谨，这里还请牛顿大哥海涵，暑假再去拜读一下你的《自然哲学的数学原理》。
立体角：平面角我们非常熟悉，但是扩展到立体当中，我们如何度量一个角的大小呢？比如一个圆锥体的顶点和它所有母线围成的那个角，显然这里要给出新的定义。回忆起平面角的定义过程，在单位圆中，我们取一段弧长ds，那么其对应角的弧度就是dθ=ds/r。而在立体角当中，我们采用类似的办法，在单位球中，去一块面积元ds，这对应的立体角的弧度就是dΩ=ds/r^2，考虑更一般的情况，即dΩ=cosθds/r^2，有.我们将这两个定义式进行积分运算，能够看到，平面中周角的度数是2π，空间中的周角的度数是4π。
电通量：电通量其实和磁通量是对应的物理量，在法拉第创造场这个概念的时候，人们应该发现无论是电场还是磁场，都太过抽象，因此物理学家需要引入新的概念来描述场中某点的特征(包括E、B)，由此电通量和磁通量诞生了。在这里笔者融入想象的元素，没有任何理论资料做基础：电场、磁场包括重力场，都是一种能量场，而能量常常被描述成流的形式(这很可能启发自自然界中的水流)，因此这里我们可以将某个截面通过的“流”的大小来描述场中能量的大小，结合场强E、B的基本概念，我们能够很自然的给出定义式：
φ=ES(BS),微分形式：dφ=BdS(EdS).
场强E的定义式：这个东西联想高中课本某一节的一个插画，E = Q/4πεr^2，这是一个实验定律。
那么基于以上的内容，我们就可以很容易的进行对高斯定理的证明：
提出问题：对于+q的点电荷，包围它的封闭曲线上的电通量有着怎样的分布规律呢？
先从一个简单的例子分析起，点电荷在一个球体的中心，即求球面电通量。
根据电通量的定义和积分的技术。
先来看一个最特殊的情况：取圆面上一个面积微小元ds有dφ=Eds，等式两边做曲面积分并带入E，经过整理可得：φ = q/ε.
那么来破坏一下这个完美的特殊情况，如果+q电荷不在圆心上呢？如果封闭曲面不是圆周呢？在这里的思路是将复杂情况往简单情况上靠拢，首先我们将+q电荷放在球心上做出一个球，球面和外层的封闭曲面形成了一一映射，容易看到穿过两个面的电通是一样的，但是需要注意的是，对于外围的曲面，取微小元时，应有dφ=Edscosθ，进行如上的曲面积分运算，我们会得到dφ=(qdScosθ)/(4πεr^2)，结合一般情况下的立体角的定义，我们最终经过整理可得，φ = q/ε.
因此，对于一个封闭曲面内任意多个的电荷，我们都采用相同的计算方法，有φ = 1/ε∑q.