向量：
向量的基本运算：向量的运算最基本的一件事情，就是基于它n个分量上进行，即对于两个分量的向量a = <a1,a2>，b = <b1,b2>,有a + b = <a1+b1,a2+b2>。聪明的读者可能已经想到了，这其实是与我们在高中物理的力学中所谓的“正交分解”是相互呼应的，而其实也是基于此，我们能够得到我们熟悉的所谓“平行四边形法则”、“三角形法则”。
更全面的向量的代数性质，下表给出。
向量方程：
我们进行进一步的转化。
可以看到，解向量方程的过程本质上回到了解线性方程组的算法过程。
由此我们得到下面的结论：
Span符号的含义：
而基于 Span符号的这个概念，我们能进一步发现Span(v)和Span(v,u)有着实际的几何意义。
线性代数中的一个基本思想就是把向量的线性组合看做矩阵与向量的积。
这里我们首次定义了和矩阵有关的乘法运算，我们一开始接触矩阵，是将其作为线性方程组的系数矩阵，下面的定理显示出了该定义的合理性：
这个定理的正确性是显然的。它给出了研究线性代数问题一个有力工具，使我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或者作为向线性方程组，当我们构造实际生活中某个问题的数学模型时，我们可自由地选择任何一种最自然的观点。于是我们可在方便的时候由一种观点转向另一种观点。而任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都可以用相同的方法来解——行化简算法。