动态规划-最长公共子序列长度/最长公共子串/最小编辑代价

（一）最长公共子序列

对于两个字符串，请设计一个高效算法，求他们的最长公共子序列的长度，这里的最长公共子序列定义为有两个序列U1,U2,U3...Un和V1,V2,V3...Vn,其中Ui&ltUi+1，Vi&ltVi+1。且A[Ui] == B[Vi]。

给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。（子序列可以是不连续的）

测试样例：

"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12

返回：6

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(X_n-1，Y_m-1)

LCS(X_n-1，Y_m-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是X_n-1和 Y_m-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(X_n-1，Y_m) 和 LCS(X_n，Y_m-1)

因为序列X 和序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(X_n-1，Y_m)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(X_n，Y_m-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)}

状态转移方程为：

建立一个(n+1)(m+1)维数组存放公共子序列的长度。

class LCS {
public:
    int findLCS(string A, int n, string B, int m) {
        // write code here
        int dp[301][301];
        for(int i=0;i<=n;++i){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int j=0;j<=m;++j){
            dp[0][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=m;++j){
                if(A[i-1]==B[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
            
        }
        return dp[n][m];
        
    }
};

（二）最长公共子串

上面最长公共子序列要求是不连续的，而最长公共子串要求是连续的，差别就在状态方程的变化：

当A[i]==B[j]，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；当A[i]!=B[i]时，dp[i][j]=0

class LongestSubstring {
public:
    int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
        // write code here
        int maxLen=0;
        int dp[301][301];
        for(int i=0;i<=n;++i){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int j=0;j<=m;++j){
            dp[0][j]=0;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (A[i-1] == B[j-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                    
                } else {
                    dp[i][j] = 0;
                }
                maxLen = max(maxLen, dp[i][j]);
            }
        }
         return maxLen;
    }
   
};

（三）最小编辑代价

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/04f1731f32e246b4a19688972d5e2600 来源：牛客网

对于两个字符串A和B，我们需要进行插入、删除和修改操作将A串变为B串，定义c0，c1，c2分别为三种操作的代价，请设计一个高效算法，求出将A串变为B串所需要的最少代价。

给定两个字符串A和B，及它们的长度和三种操作代价，请返回将A串变为B串所需要的最小代价。保证两串长度均小于等于300，且三种代价值均小于等于100。

测试样例：

"abc",3,"adc",3,5,3,100

返回：8

思路与之前类似，也是建立一个(n+1)(m+1)辅助数组，因为要把A字符串变为B字符串，当j=0时（说明B字符串为空），每一行的代价为删除代价，代价为i*c1；当i=0时，每一列的代价为插入代价，代价为j*c0。

1）修改=删除+插入 c2=min(c2,c0+c1)

2）当两个数相等时dp[i][j]=dp[i-1][j-1]

2）当两个数不相等时，有三种不同情况dp[i-1][j]+c1, dp[i][j-1]+c0, dp[i-1][j-1]+c2;

代码如下：

class MinCost {
public:
    int findMinCost(string A, int n, string B, int m, int c0, int c1, int c2) {
        // write code here
        int dp[301][301];
        for(int i=0;i<=n;++i){
            dp[i][0]=i*c1;
        }
        for(int j=0;j<=m;++j){
            dp[0][j]=j*c0;
        }
        c2=min(c2,c0+c1);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=m;++j){
                if(A[i-1]==B[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }
                else{
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+c2,min(dp[i-1][j]+c1,dp[i][j-1]+c0));
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};