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要点
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并排序的基本思想
将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。
综上可知：
归并排序其实要做两件事：
（1）“分解”——将序列每次折半划分。
（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。
我们先来考虑第二步，如何合并？
在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。
这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。
先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。
为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。
每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。
经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。
掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解 如何分解。
在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。可以使用递归来实现
调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。
核心代码
//mergeSort void merge(int *a,int low,int high,int *result){ int mid=(high-low+1)/2+1;//中间元素 int left_index=low; int right_index=low+mid; int result_index=low; while(left_index<low+mid&&right_index<high+1){ //对分别已经排序好的左区间和右区间进行合并 if(a[left_index]<=a[right_index]){ result[result_index++]=a[left_index++]; } else result[result_index++]=a[right_index++]; } while(left_index<low+mid) result[result_index++]=a[left_index++]; while(right_index<high+1) result[result_index++]=a[right_index++]; } void mergeSort(int *a,int low,int high,int *result){ //如果只有两个元素，对两个元素进行排序 if(1==high-low){ if(a[low]>a[high]){ int temp=a[low]; a[low]=a[high]; a[high]=temp; } } //如果只有一个元素，不用排序 else if(0==high-low) return; else{ //继续划分子区间，分别对左右子区间排序 mergeSort(a,low,(high-low+1)/2+low,result); mergeSort(a,(high-low+1)/2+low+1,high,result); //归并已经排好的数据 merge(a,low,high,result); //将排序好的数据复制到原始数据中去 for(int i=low;i<=high;++i) a[i]=result[i]; } }
算法分析
归并排序算法的性能
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排序类别 |
排序方法 |
时间复杂度 |
空间复杂度 |
稳定性 |
复杂性 |
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平均情况 |
最坏情况 |
最好情况 |
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归并排序 |
归并排序 |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(n) |
稳定 |
较复杂 |
时间复杂度
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。
空间复杂度
由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。
算法稳定性
在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。
归并排序和堆排序、快速排序的比较
若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。
若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。
若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。
运行结果