打个暴力查一下OEIS，5min做完
出题人一开始把式子打错了，一开始的式子的结果为$n * (n + 3) * 2^{n - 3}$
我们考虑化式子
首先考虑
$sumlimits_{j = 1}^k sumlimits_{i = 0}^{n - 1} inom{i}{k- j} * inom{n - i - 1}{j - 1}$
$= sumlimits_{i = 0}^{n - 1} sumlimits_{j = 1}^k inom{i}{k- j} * inom{n - i - 1}{j - 1}$
$= sumlimits_{i = 0}^{n - 1} sumlimits_{j = 0}^{k - 1} inom{i}{k- j - 1} * inom{n - i - 1}{j}$
我们考虑对后面运用范德蒙德卷积公式$sumlimits_{i = 0}^k inom{n}{i} inom{m}{k - i} = inom{n + m}{k}$，可以得到
$= sumlimits_{i = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k - 1}$
$= n * inom{n - 1}{k - 1}$
$= k inom{n}{k}$
因此，原式等于$sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k}$
我们可以对$(1 + x)^n = sumlimits_{i = 0}^n inom{n}{i} x^i$连续求导$2$次得到下面的恒等式
$sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n * (n + 1) * 2^{n - 2}$
代码实现....算了吧...
复杂度$O(log n)$