证明：设(H)是([l, r])的一个（无限）开覆盖，则其存在有限子覆盖

对(l)，(exists A in H)，满足(l in A)，如果(exists A in H)满足([l, r] subset A)，则命题得证
（注意这里(A)不一定是可数的）

若不存在，设区间(A)的右端点构成集合(B_1)

若(B_1)是有限的，那么我们取(l_1 = max(B_1))，且选择(l_1)对应的区间

否则，注意到(r)是(B_1)的一个上界，因此(B_1)一定有一个上确界，记(l_1 = sup B_1)

对于(l_1)，至少存在一个区间((a_1, b_1))，有(l_1 in (a_1, b_1))

由于(l_1)是(B_1)的上确界，故(forall M < l_1, exists x in B_1, x > M)

取(M = a_1)，(exists x in B_1, x > a_1)，此时我们选择(x)对应的区间以及((a_1, b_1))

不难发现，此时([l, l_1))已经被选择的区间覆盖，我们只需考虑([l_1, b])，且由戴德金分割定理，我们没有遗漏的数

对于([l_1, b])，我们采用类似的方法进行讨论，不妨假设我们仍需讨论无限次，且讨论的区间依次变为([l_2, b])，([l_3, b]).....

显然有(l_1 < l_2 < l_3 ....)，且({l_n})有上界(b)，故({l_n})必收敛于一点(A)，且(A leq b)

对于(A)，(exists (L, R) in H)，满足(L < A < R)

由于({l_n})收敛于(A)，取(epsilon = A - L > 0)，则(exists n_0)，当(n > n_0)时，(|l_n - A| < epsilon)，即(l_n > L)

因此对于集合(B_{n+1})而言，(R in B_{n+1})，即(A < R leq sup B_{n+1} = l_{n+1} < A)，矛盾

矛盾的根源在于假设，即我们不能无限的讨论下去，命题得证

当然这个证明不是那么漂亮，用到的定理太多了....