BZOJ4522:[CQOI2016]密钥破解(Pollard-Rho,exgcd)

Description

一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：
1. 任选两个不同的质数 p ，q
2. 计算 N=pq , r=(p-1)(q-1)
3. 选取小于r ，且与 r 互质的整数 e
4. 计算整数 d ，使得 ed≡1 mod r
5. 二元组 (N,e) 称为公钥，二元组 (N,d) 称为私钥

当需要加密消息 n 时（假设 n 是一个小于 N 整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），使用公钥 (N,e)，按照

n^e≡c mod N 运算，可得到密文 c 。

对密文 c 解密时，用私钥 (N,d) ，按照c^d≡n mod N 运算，可得到原文 n 。

算法正确性证明省略。

由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。

现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。

Input

输入文件内容只有一行，为空格分隔的j个正整数e,N,c。N<=2^62,c<N

Output

输出文件内容只有一行，为空格分隔的k个整数d,n。

Sample Input

3 187 45

Sample Output

107 12
//样例中 p = 11, q = 17

Solution

一开始被题意吓到了……

其实仔细捋一下，就按如下步骤就完了。

因为有$N$，所以可以$Pollard-Rho$求出来$p$和$q$。

求出来$p$和$q$，就可以求出来$r$。

求出来$r$，就可以$exgcd$解出来$d$.

求出来$d$，就可以用快速幂求出来$n$。

然后这题就没了……

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 #define LL long long
 6 using namespace std;
 7 
 8 LL T,maxn,x;
 9 LL prime[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
10 
11 LL Mul(LL a,LL b,LL MOD)
12 {
13     LL tmp=a*b-(LL)((long double)a*b/MOD+0.1)*MOD;
14     return tmp<0?tmp+MOD:tmp;
15 }
16 
17 LL Qpow(LL a,LL b,LL MOD)
18 {
19     LL ans=1;
20     while (b)
21     {
22         if (b&1) ans=Mul(ans,a,MOD);
23         a=Mul(a,a,MOD); b>>=1;
24     }
25     return ans;
26 }
27 
28 LL gcd(LL a,LL b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
29 
30 bool Miller_Rabin(LL n)
31 {
32     if (n==2) return 1;
33     if (n<2 || n%2==0) return 0;
34     LL m=n-1,l=0;
35     while (m%2==0) ++l, m>>=1;
36     for (int i=0; i<9; ++i)
37     {
38         LL p=prime[i],w=Qpow(p,m,n);
39         if (w==1 || w==n-1 || p==n) continue;
40         for (int j=1; j<=l; ++j)
41         {
42             LL u=Mul(w,w,n);
43             if (u==1 && w!=1 && w!=n-1) return 0;
44             w=u;
45         }
46         if (w!=1) return 0;
47     }
48     return 1;
49 }
50 
51 LL Pollard_Rho(LL n,LL c)
52 {
53     LL x=rand()%n,y=x,p=1,k=2;
54     for (LL i=1; p==1; ++i)
55     {
56         x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
57         p=x>y?x-y:y-x;
58         p=gcd(p,n);
59         if (i==k) y=x,k+=k;
60     }
61     return p;
62 }
63 
64 void Solve(LL n)
65 {
66     if (n==1) return;
67     if (Miller_Rabin(n)) {maxn=max(maxn,n); return;}
68     LL t=n;
69     while (t==n) t=Pollard_Rho(n,rand()%(n-1)+1);
70     Solve(t); Solve(n/t);
71 }
72 
73 int main()
74 {
75     scanf("%lld",&T);
76     while (T--)
77     {
78         scanf("%lld",&x);
79         maxn=0;
80         Solve(x);
81         if (maxn==x) puts("Prime");
82         else printf("%lld
",maxn);
83     }
84 }