补码

正数的原码补码反码都相同。

负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。

负数的反码：符号位为“1”，数值部分按位取反。

同一个数字，不同位数的补码，表示形式不同。比方说-15的补码，在8位2进制里头是11110001，然而在16位2进制补码表示的情况下，就成了1111111111110001。

“模”是指一个计量系统的计数范围。例如：时钟的计量范围是0～11,模=12.表示n位的计算机计量范围是0～(2^n) - 1,模 = 2^n。

计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。

下面内容转自(http://blog.csdn.net/lmjq/article/details/5450292)

下面我就尝试着来证明一下，为什么负数的补码等于反码加一。
理解下面的推导要求读者必须了解模数的概念和求模运算。

假设我们的运算使用n位二进制数，那么这n位二进制数的模数为2ⁿ ,数α为一个用n位二进制表示的常数，数x为一个用n位二进制表 示的变数，那么α < 2ⁿ ，x < 2ⁿ 是成立的，在这里α与x都是用原码表示的。现在 我们从α减掉x，推导如下：

α – x = 2ⁿ %2ⁿ + (α – x) % 2ⁿ 
        = (2ⁿ + (α – x)) % 2ⁿ 
        = (α + 2ⁿ – x) % 2ⁿ 
        = (α) % 2ⁿ + (2ⁿ – x) % 2ⁿ 
        = α + (2ⁿ – x)

我们现在将α – x这个减法运算成功演化成了 α + (2ⁿ – x)这个加法运算。从模数的概念我们知道,如果两个数相加等于其模数，那么这两个数是互补的。在这里x与2ⁿ – x是互补的，减掉数x与加上其补数2ⁿ – x是相等的。在这里还隐藏了一层含义，一个正数加上一个负数，如果有进位产生，把进位简单的舍弃掉是不影响计算结果的。
我们得出第一个结论：
x_com = 2ⁿ – x

反码则简单的多，一个数的全部二进制位取反则得到其反码，由此可知，如果一个数加上它的反码，则此全部二进制位是满的，也就是全部是1，其值为2^n-1 + 2^n-2 + … + 2² + 2¹ + 2⁰ = 2ⁿ – 1
我们得出第二个结论
x_neg = 2ⁿ – 1 – x

综合结论一和二，我们可以做如下推导：
x_com = 2ⁿ – x
        = 2ⁿ – 1 – x + 1
        = x_neg + 1

至此我们得出最终结论一个n位二进制数的补数等于其反码加一。

我们再回头看看，我们曾经说“x与2ⁿ – x是互补的，减掉数x与加上其补数2ⁿ – x是相等的”，减掉数x，我们可以看做是加-x,也就是”加-x”与”加2ⁿ – x”是对等的，那么在计算机中-x用2ⁿ – x做其补码就顺理成章了,注意这里说的是补码而不是补数。

现在我们把x替换为1，n替换为8，得出-1的补码为2⁸ -1=255=0xFF，这就是-1在计算机里面的真实面目。当然 对于正数就另当别论了。