(mathcal{Descriprtion})
Link.
在一个含 (n) 个结点的有向图中,存在边 (lang i,i+1,0 ang),它们不能被删除;还有边 (lang i,j,-1 ang~(i<j)) 和 (lang i,j,1 ang~(i>j)),删除一条边的代价为 (a_{i,j})。求使得图无负环的最小删边代价和。
(nle500)。
(mathcal{Solution})
直接将原图看做一个差分约束模型,或说把 无负环 转化成 存在从 (1) 到 (n) 的最短路。设 (x_i) 表示 (1) 到 (i) 的最短路,那么首先必然有 (x_ige x_{i+1}),令 (d_i=x_{i+1}-x_ige0),考虑一条可删除的 (lang i,j ang) 被 ({d_{n-1}}) 影响的情况:
- (lang i,j,-1 ang):(x_ige x_j+1),说明当 (sum_{k=i}^{j-1}d_k=0) 时,此边需要删去;
- (lang i,j,1 ang):(x_ige x_j-1),说明当 (sum_{k=j}^{i-1}d_kge2) 时,此边需要删去。
此外已证,(d_kin{0,1}) 必然能取到最优方案。所以令 (f(i,j)) 表示最近一个是 (d_i=1),前一个是 (d_j=1) 时,使结点 (1sim i+1) 之间的边符合要求的最小删除代价和,预处理 (+1) 和 (-1) 边删除代价的二维前缀和,枚举前驱状态 (f(j,k)),可做到 (mathcal O(n^3)) 转移。
(mathcal{Code})
/* Clearink */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
typedef long long LL;
template<typename Tp>
inline Tp imax( const Tp a, const Tp b ) { return a < b ? b : a; }
template<typename Tp>
inline void chkmin( Tp& a, const Tp b ) { b < a && ( a = b ); }
const int MAXN = 500;
const LL LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
LL wp[MAXN + 5][MAXN + 5], wn[MAXN + 5][MAXN + 5];
LL f[MAXN + 5][MAXN + 5];
inline LL negS( int a, const int b, int p, const int q ) {
a = imax( a, 1 ), p = imax( p, 1 );
return a > p || b > q ? 0 :
wn[p][q] - wn[p][b - 1] - wn[a - 1][q] + wn[a - 1][b - 1];
}
inline LL posS( int a, const int b, int p, const int q ) {
a = imax( a, 1 ), p = imax( p, 1 );
return a > p || b > q ? 0 :
wp[p][q] - wp[p][b - 1] - wp[a - 1][q] + wp[a - 1][b - 1];
}
int main() {
scanf( "%d", &n );
rep ( i, 1, n ) rep ( j, 1, n ) {
if ( i < j ) scanf( "%lld", &wn[i][j] );
else if ( i > j ) scanf( "%lld", &wp[i][j] );
wn[i][j] += wn[i - 1][j] + wn[i][j - 1] - wn[i - 1][j - 1];
wp[i][j] += wp[i - 1][j] + wp[i][j - 1] - wp[i - 1][j - 1];
}
LL ans = negS( 1, 1, n, n );
memset( f, 0x3f, sizeof f ), f[0][0] = 0;
rep ( i, 1, n - 1 ) rep ( j, 0, i - 1 ) {
rep ( k, 0, imax( j - 1, 0 ) ) {
chkmin( f[i][j], f[j][k] + negS( j + 1, j + 1, i, i )
+ posS( j + 2, 1, i + 1, k )
+ posS( i + 1, k + 1, i + 1, j ) );
}
chkmin( ans, f[i][j] + negS( i + 1, i + 1, n, n )
+ posS( i + 2, 1, n, j ) );
}
printf( "%lld
", ans );
return 0;
}