(mathcal{Description})
给定一棵 (n) 个点的树形随机的带边权树，求所有含奇数条边的路径中位数之和。树形生成方式为随机取不连通两点连边直到全部连通。
(nle32000)。
(mathcal{Solution})
考虑用中位数的标准姿势统计每条边的贡献——小于它的设为 (-1)，大于它的设为 (+1)，边权相等按编钦定大小关系。那么这条边的贡献就是路径两端权值加和为 (0) 的路径对数（显然每对路径连起来都是奇数路径）。
令 (f(u,i)) 表示 (u) 子树内到 (u) 路径权值和为 (i) 的结点数量。对于一条边 ((u,v))，不妨设 (u) 是 (v) 的父亲，设我们已经得到了全树的 DP 信息，考虑到题目中随机树的期望深度为 (mathcal O(sqrt n))，所以暴力爬树统计 (v) 子树内和 (v) 子树外的信息即可求到当前答案。顺序枚举边，每条边仅会由 (+1) 变为 (-1)，所以暴力仍然暴力爬树修改 DP 信息即可。实现上，利用树深限制，拿一个内存池储存 DP 信息；爬树统计时限制可能贡献答案的权值区间即可通过本题。
复杂度 (mathcal O(n^2))，不过可以算出带一个 (frac{1}6) 的常数，所以可过。
(mathcal{Code})
这里以直径中点作为根（为了和某毒瘤比赛卡常），不过随便选一个根都是可过的。
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;
const int MAXN = 32000, MAXSQRT = 180, MAXV = 1e6;
int n, ecnt, head[MAXN + 5], fa[MAXN + 5], dep[MAXN + 5], faw[MAXN + 5];
int mempool[MAXN * MAXSQRT * 2], *f[MAXN + 5], *frepos = mempool, *g;
int pre[MAXN + 5], buc[MAXV + 5], ori[MAXN + 5], down[MAXN + 5];
struct Edge { int to, cst, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];
struct EdgeSet { int u, v, w; } eset[MAXN + 5];
inline int rint () {
int x = 0; char s = getchar ();
for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar () );
for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
return x;
}
inline int min_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? a : b; }
inline int max_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? b : a; }
inline void link ( const int s, const int t, const int c ) {
graph[++ ecnt] = { t, c, head[s] };
head[s] = ecnt;
}
inline void BFS ( const int s ) {
static std::queue<int> que;
que.push ( s ); dep[s] = 1;
while ( ! que.empty () ) {
int u = que.front (); que.pop ();
for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
if ( ! dep[v = graph[i].to] ) {
pre[v] = u, dep[v] = dep[u] + 1;
que.push ( v );
}
}
}
}
inline void init ( const int u ) {
dep[u] = 0;
for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
if ( ( v = graph[i].to ) ^ fa[u] ) {
fa[v] = u, faw[v] = 1, down[graph[i].cst] = v, init ( v );
if ( dep[v] + 1 > dep[u] ) dep[u] = dep[v] + 1;
}
}
f[u] = frepos += dep[u] + 1, frepos += dep[u] + 1;
}
inline void DP ( const int u ) {
*f[u] = 1;
for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
if ( ( v = graph[i].to ) ^ fa[u] ) {
DP ( v );
for ( int j = -dep[v]; j <= dep[v]; ++ j ) f[u][j + 1] += f[v][j];
}
}
}
inline LL update ( const int s ) {
int l = -dep[s], r = dep[s]; faw[s] = -1;
for ( int u = fa[s], v = s, d1 = 0, d2 = 0; u; u = fa[v = u] ) {
d1 += v ^ s ? faw[v] : 1, d2 += faw[v];
for ( int i = -dep[s]; i <= dep[s]; ++ i ) {
f[u][i + d1] -= f[s][i];
f[u][i + d2] += f[s][i];
}
for ( int i = max_ ( -dep[u], l ), t = min_ ( dep[u], r ), d = d2 + 1; i <= t; ++ i ) {
g[i + d] += f[u][i] - f[v][i - faw[v]];
}
l -= faw[u], r -= faw[u];
}
LL ret = 0;
for ( int i = -dep[s]; i <= dep[s]; ++ i ) {
ret += 1ll * f[s][i] * g[-i];
g[-i] = 0;
}
return ret;
}
int main () {
n = rint (); int mxw = 0;
for ( int i = 1, u, v, w; i < n; ++ i ) {
u = rint (), v = rint (), w = rint ();
eset[i] = { u, v, w }, ++ buc[w];
if ( w > mxw ) mxw = w;
}
for ( int i = 2; i <= mxw; ++ i ) buc[i] += buc[i - 1];
for ( int i = 1; i < n; ++ i ) {
eset[i].w = buc[ori[buc[eset[i].w]] = eset[i].w] --;
link ( eset[i].u, eset[i].v, eset[i].w );
link ( eset[i].v, eset[i].u, eset[i].w );
}
BFS ( 1 );
int s = 0, t = 0;
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
if ( dep[i] > dep[s] ) s = i;
dep[i] = pre[i] = 0;
}
BFS ( s );
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) if ( dep[i] > dep[t] ) t = i;
for ( int i = dep[s] + dep[t] - 2 >> 1; i --; t = pre[t] );
init ( t ), DP ( t );
g = frepos += dep[t] + 1, frepos += dep[t] + 1;
LL ans = 0;
for ( int i = 1; i < n; ++ i ) ans += ori[i] * update ( down[i] );
printf ( "%lld
", ans );
return 0;
}