What day is that day?（快速幂，打表找周期,或者求通项公式）

有些题怎么都解不出来，这时候可以打表，找规律，求通项公式等，这些方法让人拍手叫绝，真不错……

Description

It's Saturday today, what day is it after 1¹ + 2² + 3³ + ... + N^N days?

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T indicating the number of test cases. For each test case:

There is only one line containing one integer N (1 <= N <= 1000000000).

Output

For each test case, output one string indicating the day of week.

Sample Input

2
1
2

Sample Output

Sunday
Thursday

Hint

A week consists of Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday and Saturday.

source

这道题比赛的时候没做出来，因为不知道周期是什么，虽然用的快速幂，算到10^6以前很快，再大就算的很慢，题目数据为10^9, 这样早超时了，

后来看网上说打表可以找到周期294，我就把n = n % 294加到我的代码里就对了，55555~~~~~~当时我怎么不会打表，会打表的话就会ac了

主要是打表和快速幂

但是后来学长给讲了一个方法，求通项公式的方法，比打表高大上多了，其中可以边算边mod 7，但是这样的话用公式可能出现分数，因为除以一个数之后mod 7相当于乘以一个数的mod 7逆，分数问题就被解决啦，学长好厉害，下边把整个我写题的过程写出来

刚才学了下打表，大概是这样，

比如题目里有多组测试数据，第一个测试数据让你输出第1000个，那么你就可以把前1000个存起来，

如果下一组测试数据让你输出第500个的时候你就不用重新计算，而是把前面算过的第500个输出就好，

如果下一组测试让你输出第2000个，你就可以直接从1001开始算，前面算过的存储起来就不用再算了

令：如果题目中数据非常大的时候比如说1000000000，无法一个一个正常计算的时候，你就可以找找题中的答案是不是有规律，结果是否存在周期性，

可以通过打表把前面存的数据打出来找规律，比如试试前五百个数据间是否有规律

可以打出500个，依次改变每行的数据个数，比较首行数据是否存在规律性

#include <stdio.h>
long long fun(int x, int n)
{
    long pow = x, ret = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret = ret * pow % 7;
        pow *= pow % 7;
        n /= 2;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    long long n, ans, t;
    scanf("%lld", &t);
    while(t--)
    {
        ans = 0;
        scanf("%lld",&n);
        n = n%294;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            ans += fun(i, i) % 7;
            ans %= 7;
        }
        switch(ans)
        {
            case 1: printf("Sunday
");break;
            case 2: printf("Monday
");break;
            case 3: printf("Tuesday
");break;
            case 4: printf("Wednesday
");break;
            case 5: printf("Thursday
");break;
            case 6: printf("Friday
");break;
            case 0: printf("Saturday
");break;
        }
    }
    return 0;
}

这道题我打表的代码是这样的，

刚开始我不知道每行21个数据的时候每九行首行的数据就会出现周期性循环，

我先看了前30个数没有规律，然后我试了500个数据的情况下打表

从每行有15个数据开始试，试到每行21个的时候发现首行开始有规律，所以周期为21*9

#include <stdio.h>
long long fun(int x, int n)
{
    long pow = x, ret = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret = ret * pow % 7;
        pow *= pow % 7;
        n /= 2;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    long long n, res, ans[1000], t;
    scanf("%lld", &t);
    while(t--)
    {
        res = 0;
        scanf("%lld",&n);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            res += fun(i, i) % 7;
            res %= 7;
            ans[i] = res;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if((i-1) % 21 == 0)
                printf("
");
            switch(ans[i])
            {
                case 1: printf("7 ");break;
                case 2: printf("1 ");break;
                case 3: printf("2 ");break;
                case 4: printf("3 ");break;
                case 5: printf("4 ");break;
                case 6: printf("5 ");break;
                case 0: printf("6 ");break;
            }
        }
        printf("

");
    }
    return 0;
}

3达标找周期的方法太笨了，还是学长给讲的求通项公式的方法好用，高端大气方便

但是我写这东西的时候掉进一个陷阱里了，怎么都找不出错误，差点就放弃了，因为真的是让姐花了几个小时去找啊~~~~~~~~~~~~~

求mod 7逆的时候要求逆的数必须是正数，如果是负数就一直加7直到这个数变成正数，然后求逆，………………坑啊，忘了这个，负数就直接求逆了，浪费好几个小时……

这样写思路大概就是

(1^1 + 2^2 + 3 ^ 3 + 4 ^4 + …… + n ^ n ) % 7 =

1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + 5^5 + 6^6 + （7%7）^7 +

1^8 + 2^9 + 3^10 + 4^11 + 5 ^12 + 6^13 + 0^14+

……

因为最终结果要mod 7所以每个数可以先mod 7然后再加起来所以就可以算通项公式

1^1 + 1^8 + 1^15 + …… = n

2^2 + 2^9 + 2^16 + …… = Qfact（2, 2) * (1 - Qfact(2, 7*n)) / mod7ni(1 - Qfact(2, 7))

3^3 + 2^10 + 3^17+……= Qfact（3，3）*（1 - Qfact（3， 7*n）/ mod7ni(1 - Qfact(3, 7))

……

以此类推，其中一定要注意负数的mod 7逆一定要把这个数变成正数要求逆，不然就悲剧了啊啊啊啊啊啊啊啊……

#include <stdio.h>
#define __int64 long long
void exGcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }
    else
    {
        exGcd(b, a % b, x, y);
        int t = x;
        x = y;
        y = t - a / b * y;
    }
}
__int64 Qfact(__int64 x, __int64 n)
{
    __int64 ret = 1, pow = x;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret = ret * pow % 7;
        pow = pow * pow % 7;
        n /= 2;
    }
    return ret;
}
__int64 mod7ni(__int64 n)
{
    __int64 x, y;
    while(n < 0) n += 7;
    exGcd(n, 7, x, y);
    return (x% 7 - 7) % 7;
}
int main()
{
    __int64 t, ans;
    scanf("%I64d", &t);
    while(t--)
    {
        __int64 n, tmp1, tmp2;
        scanf("%I64d", &n);
        tmp1 = n / 7;
        tmp2 = n % 7;
        ans = tmp1;
        if(tmp1)
        {
            for(int i = 2; i < 7; i++)
            {
                ans = ans + Qfact(i, i) * (1 - Qfact(i, 7 * tmp1)) * mod7ni(1 - Qfact(i, 7)) % 7;
                ans = (ans % 7 + 7) % 7;
            }
        }
        if(tmp2)
        {
            for(int i = 1; i <= tmp2; i++)
            {
                ans = ans + Qfact(i, 7 * tmp1 + i) % 7;
                ans = (ans % 7 + 7) % 7;

            }
        }
        ans = (ans % 7 + 7) % 7;
        switch(ans)
        {
            case  1: printf("Sunday
");break;
            case  2: printf("Monday
");break;
            case  3: printf("Tuesday
");break;
            case  4: printf("Wednesday
");break;
            case  5: printf("Thursday
");break;
            case  6: printf("Friday
");break;
            case  0: printf("Saturday
");break;
        }
    }

    return 0;
}