2019暑假集训 加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(1,2,3,...,n)，其中数字1,2,3,...,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

记subtree的左子树加分为l，右子树加分为r，subtree的根的分数为a，则subtree的加分为：l*r+a
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,...,n)且加分最高的二叉树tree。

要求输出：
 1.tree的最高加分；
 2.tree的前序遍历。

输入

第一行一个整数n表示节点个数；
第二行n个空格隔开的整数，表示各节点的分数。

输出

第一行一个整数，为最高加分b；
第二行n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例输入

5
5 7 1 2 10

样例输出

145
3 1 2 4 5

提示

对于100%的数据，n<30,b<100，结果不超过4e9。

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是我见过了最菜的树形DP了qwq（逃）

题目里给的是中序遍历，根据中序遍历的规则，我们知道两点：

（1）根左侧的部分一定是左子树，右侧一定是右子树；

（2）每次的根只和当前子树有关。

第一点告诉我们中序遍历满足单调性，即枚举每个根都保证存在解；

第二点告诉我们DP的正确性，因为满足无后效性。

所以我们枚举每段（l,r）的中序遍历区间，枚举该段内的根即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,d[10050],dp[1050][1050],book[1050][1050];
int DP(int l,int r)
{
    if(l==r)return d[l];//空子树
    if(dp[l][r])return dp[l][r];//记忆化
    for(int k=l;k<=r;k++)
    {
        if(k==l)
        {
            int ans=DP(l+1,r)+d[l];
            if(ans>dp[l][r])
            {
                dp[l][r]=ans;
                book[l][r]=k;
            }
        }
        else if(k==r)//特判没有左右子树的情况
        {
            int ans=DP(l,r-1)+d[r];
            if(ans>dp[l][r])
            {
                dp[l][r]=ans;
                book[l][r]=k;
            }
        }
        else
        {
            int ans=DP(l,k-1)*DP(k+1,r)+d[k];
            if(ans>dp[l][r])
            {
                dp[l][r]=ans;
                book[l][r]=k;
            }
        }
    }
    return dp[l][r];
}
void print(int l,int r)
{
    printf("%d ",book[l][r]);
    if(l!=book[l][r])print(l,book[l][r]-1);
    if(r!=book[l][r])print(book[l][r]+1,r);
    return;
}//递归输出
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)book[i][i]=i;
    int l=1,r=n;
    int ans=DP(l,r);
    printf("%d
",ans);
    print(l,r);
    return 0;
}