HDU 5852 Intersection is not allowed! ( 2016多校9、不相交路径的方案、LGV定理、行列式计算 )

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题意 : 给定方格中第一行的各个起点、再给定最后一行与起点相对应的终点、问你从这些起点出发到各自的终点、不相交的路径有多少条、移动方向只能向下或向右

分析 :

首先对于多起点和多终点的不相交路径、有一个LGV定理

实际上就是 n^2 构造矩阵、再计算其行列式

矩阵的构造方法可以看看这个 ==> Click here

那么接下来就是确定各自路径的方案数了

这是一个经典问题

这里需要求解组合数、用预处理阶乘逆元的方法即可求出

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int Comb_Maxn = 2e5 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;

LL Fac_inv[Comb_Maxn];
LL Fac[Comb_Maxn];

inline void Comb_init()
{
    Fac_inv[0] = Fac[0] = 1;
    Fac_inv[1] = 1;

    for(int i=1; i<Comb_Maxn; i++)
        Fac[i] = Fac[i-1] * (LL)i % mod;

    for(int i=2; i<Comb_Maxn; i++)
        Fac_inv[i] = (LL)(mod - mod / i) * Fac_inv[mod % i] % mod;

    for(int i=1; i<Comb_Maxn; i++)
        Fac_inv[i] = Fac_inv[i-1] * Fac_inv[i] % mod;
}

LL Comb(int n, int m)
{ return Fac[n] * Fac_inv[m] % mod * Fac_inv[n-m] % mod; }

const int maxm = 1e2;
LL Mat[maxm+5][maxm+5];
int turn,n;
void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) d=a,x=1,y=0;
    else{
        ++turn;
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL det(LL n)
{
    LL tmp1[maxm+5],tmp2[maxm+5];
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=i+1;j<=n;++j){
            if(Mat[j][i]!=0){
                LL A=Mat[i][i],B=Mat[j][i],d,x,y;
                turn=0;
                gcd(A,B,d,x,y);
                for(int k=1;k<=n;++k) tmp1[k]=Mat[i][k],tmp2[k]=Mat[j][k];
                for(int k=1;k<=n;++k) Mat[i][k]=(x*tmp1[k]+y*tmp2[k])%mod;
                A/=d,B/=d;
                if(turn&1) x=B,y=-A,ans=-ans%mod;else x=-B,y=A;
                for(int k=1;k<=n;++k) Mat[j][k]=(x*tmp1[k]+y*tmp2[k])%mod;
            }
        }
        ans=ans*Mat[i][i]%mod;
    }
    if(ans<0) ans+=mod;
    return ans;
}

int A[maxm], B[maxm];
int main(void)
{
    Comb_init();
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    while(nCase--){
        int n, k;
        scanf("%d %d", &n, &k);
        for(int i=1; i<=k; i++) scanf("%d", &A[i]);
        for(int i=1; i<=k; i++) scanf("%d", &B[i]);
        for(int i=1; i<=k; i++){
            for(int j=1; j<=k; j++){
                int a, b;
                a = n-1+B[j]-A[i];
                b = n-1;
                if(a < b) Mat[i][j] = 0;
                else if(a < 0 || b < 0) Mat[i][j] = 0;
                else Mat[i][j] = Comb(a, b);
            }
        }

        printf("%lld
", det(k) % mod);
    }
    return 0;
}