题意 :
实际上可以转化一下题意
要求求出用三个不同元素的字符集例如 { 'A' 、'B' 、'C' }
构造出长度为 n 且不包含
AAA、BBB
CCC、ACB
BCA、CAC
CBC
这其中任意一个字符串的方案数
分析 :
方法一 （BM 求线性递推）
直接暴力出前 10 项的答案、然后猜它其实可以由线性递推递推而来
丢进杜教的 BM 模板里面就可以直接求出第 N 项了
实际上这个可以不用猜、这种不包含某些串的题目
如果你做过类似的、就会知道实际上是可以构造出一个矩阵然后快速幂
可以使用矩阵快速幂优化的递推方程大概都可以用 BM 求
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <vector> #include <string> #include <map> #include <set> #include <cassert> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++) #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define all(x) (x).begin(),(x).end() #define fi first #define se second #define SZ(x) ((int)(x).size()) typedef vector<int> VI; typedef long long ll; typedef pair<int,int> PII; const ll mod=1000000007; ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;} // head ll n; namespace linear_seq { const int N=10010; ll res[N],base[N],_c[N],_md[N]; vector<int> Md; void mul(ll *a,ll *b,int k) { rep(i,0,k+k) _c[i]=0; rep(i,0,k) if (a[i]) rep(j,0,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod; for (int i=k+k-1;i>=k;i--) if (_c[i]) rep(j,0,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod; rep(i,0,k) a[i]=_c[i]; } int solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系数 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+... ll ans=0,pnt=0; int k=SZ(a); assert(SZ(a)==SZ(b)); rep(i,0,k) _md[k-1-i]=-a[i];_md[k]=1; Md.clear(); rep(i,0,k) if (_md[i]!=0) Md.push_back(i); rep(i,0,k) res[i]=base[i]=0; res[0]=1; while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++; for (int p=pnt;p>=0;p--) { mul(res,res,k); if ((n>>p)&1) { for (int i=k-1;i>=0;i--) res[i+1]=res[i];res[0]=0; rep(j,0,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod; } } rep(i,0,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod; if (ans<0) ans+=mod; return ans; } VI BM(VI s) { VI C(1,1),B(1,1); int L=0,m=1,b=1; rep(n,0,SZ(s)) { ll d=0; rep(i,0,L+1) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod; if (d==0) ++m; else if (2*L<=n) { VI T=C; ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod; while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0); rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod; L=n+1-L; B=T; b=d; m=1; } else { ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod; while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0); rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod; ++m; } } return C; } int gao(VI a,ll n) { VI c=BM(a); c.erase(c.begin()); rep(i,0,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod; return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c))); } }; int main() { vector<int>v; v.push_back(3); v.push_back(9); v.push_back(20); v.push_back(46); v.push_back(106); v.push_back(244); v.push_back(560); v.push_back(1286); v.push_back(2956); v.push_back(6794); int nCase; scanf("%d", &nCase); while(nCase--){ scanf("%lld", &n); printf("%lld ",1LL * linear_seq::gao(v,n-1) % mod); } }
方法二 （AC自动机构造矩阵 + 矩阵快速幂）
如果你做过 POJ 2778 那么你就能够知道这个题目
实际上将不合法的字符串丢到 AC 自动机里面去就可以构造出矩阵了
然后进行快乐的矩阵快速幂就阔以了
下面代码并非 AC 代码、只是使用 AC 自动机构造矩阵的代码
且代码大部分都使用了我写过的 POJ 2778 的代码、输入形式可看代码最后注释
#include<queue> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; const int Max_Tot = 1e4 + 10; const int Letter = 3; const int MOD = 1e9+7; int maxn; int mp[256]; struct mat{ int m[111][111]; }unit, M; mat operator * (mat a, mat b) { mat ret; long long x; for(int i=0; i<maxn; i++){ for(int j=0; j<maxn; j++){ x = 0; for(int k=0; k<maxn; k++){ x = (x + ((long long)a.m[i][k]%MOD * b.m[k][j]%MOD)%MOD)%MOD; } ret.m[i][j] = x % MOD; } } return ret; } inline void init_unit() { for(int i=0; i<maxn; i++) unit.m[i][i] = 1; } mat pow_mat(mat a, int n) { mat ret = unit; while(n){ if(n&1) ret = ret * a; a = a*a; n >>= 1; } return ret; } struct Aho{ struct StateTable{ int Next[Letter]; int fail, flag; }Node[Max_Tot]; int Size; queue<int> que; inline void init(){ while(!que.empty()) que.pop(); memset(Node[0].Next, 0, sizeof(Node[0].Next)); Node[0].fail = Node[0].flag = 0; Size = 1; } inline void insert(char *s){ int now = 0; for(int i=0; s[i]; i++){ int idx = mp[s[i]]; if(!Node[now].Next[idx]){ memset(Node[Size].Next, 0, sizeof(Node[Size].Next)); Node[Size].fail = Node[Size].flag = 0; Node[now].Next[idx] = Size++; } now = Node[now].Next[idx]; } Node[now].flag = 1; } inline void BuildFail(){ Node[0].fail = 0; que.push(0); while(!que.empty()){ int top = que.front(); que.pop(); if(Node[ Node[top].fail ].flag) Node[top].flag = 1;///如果当前节点的Fail指针指向的节点也是末尾节点，那么这个节点也是不合法的！ for(int i=0; i<Letter; i++){ if(Node[top].Next[i]){ if(top == 0) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0; else{ int v = Node[top].fail; while(v != -1){ if(Node[v].Next[i]){ Node[ Node[top].Next[i] ].fail = Node[v].Next[i]; break; }v = Node[v].fail; }if(v == -1) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0; }que.push(Node[top].Next[i]); }else Node[top].Next[i] = top!=0?Node[ Node[top].fail ].Next[i]:0;///多了这一句！ } } } inline void BuildMatrix(){ for(int i=0; i<Size; i++) for(int j=0; j<Size; j++) M.m[i][j] = 0; for(int i=0; i<Size; i++){ for(int j=0; j<Letter; j++){ if(!Node[i].flag && !Node[ Node[i].Next[j] ].flag) M.m[i][Node[i].Next[j]]++; } } maxn = Size; } }ac; char S[11]; int main(void) { mp['A']=0, mp['B']=1, mp['C']=2; int n, m; while(~scanf("%d %d", &m, &n)){ ac.init(); for(int i=0; i<m; i++){ scanf("%s", S); ac.insert(S); } ac.BuildFail(); ac.BuildMatrix(); for(int i=0; i<9; i++){ for(int j=0; j<9; j++){ printf("%d ", M.m[i][j]); }puts(""); }puts(""); init_unit(); M = pow_mat(M, n); // for(int i=0; i<10; i++){ // for(int j=0; j<10; j++){ // printf("%d ", M.m[i][j]); // }puts(""); // }puts(""); int ans = 0; for(int i=0; i<ac.Size; i++) ans = (ans + M.m[0][i])%MOD; ans %= MOD; printf("%d ", ans); } return 0; } /*输入 7 和 n 然后输入字符集、就能出答案*/ /** 7 15 AAA BBB CCC ACB BCA CAC CBC */
方法三 （手动构造矩阵 + 矩阵快速幂）
首先使用各种手段抓一个聪明伶俐的队友过来
此队友需要在矩阵构造方面颇有灵性
把题目交给他翻译、构思、打代码
等待 15 分钟左右、最后即可得到 Accept