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Sample Input
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4
Sample Output
HINT
Source
这个题一开始想着去处理一个人等了多长时间
然后就会发现等的时间是和前面分了多少批有关的,这样的话我们需要用二维状态表示到这个点,前面分了多少批
这样暴力n^3会很萎
这时候我们会回想起一个叫做修车的题目,他对于每个点的处理相当于是这个点让后面的人多等了多久
那我们可以通过同样的方式思考,每分了一批其实就是让后面的所有人多等了一个S的时间,其余的并不影响
那么我们可以推出一维的状态
f[i]=min(f[j]+s*(F[n]-F[j])+T[i]*(F[i]-F[j]));
对于前百分之60的数据,T为正数,满足决策单调性,可以二分栈,但我懒得打了,就在codevs上AC了一个弱化版的n^2;
斜率优化+CDQ在下面
// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
int x=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*flag;
}
int f[N],t[N],F[N],s,n;
int cal(int j,int i){
return f[j]+s*(F[n]-F[j])+t[i]*(F[i]-F[j]);
}
main()
{
n=gi(),s=gi();
for(int i=1;i<=n;i++) t[i]=gi()+t[i-1],F[i]=gi()+F[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=cal(0,i);
for(int j=1;j<i;j++){
f[i]=min(f[i],cal(j,i));
}
}
printf("%lld",f[n]);
}
我们来推一推斜率方程:
f[j]+s*(F[n]-F[j])+T[i]*(F[i]-F[j)<=f[k]+s*(F[n]-F[k])+T[i]*(F[i]-F[k]);
f[j]+s*F[n]-s*F[j]+T[i]*F[i]-T[i]*F[j]<=f[k]+s*F[n]-s*F[k]+T[i]*F[i]-T[i]*F[k];
f[j]-s*F[j]-T[i]*F[j]<=f[k]-s*F[k]-T[i]*F[k];
令Y(j)=f[j]-s*F[j];
令X(j)=F[j];
则变为:
Y(j)-T[i]*X(j)<=Y(k)-T[i]*X(k);
T[i]*(X(k)-X(j))<=Y(k)-Y(j);
若X(k)>=X(j):T[i]<=(Y(k)-Y(j))/(X(k)-X(j));
若X(k)<=X(j);T[i]>=(Y(k)-Y(j))/(X(k)-X(j));
因为F值都是正的,所以X(k)>=X(j);横坐标单调;
所以T[i]<=(Y(k)-Y(j))/(X(k)-X(j));
然而斜率T[i]不是单调的
然后我就不会做了
上面的点的做法就是在瞎哔哔；
下面介绍线的神教：
方程：f[j]+s*(F[n]-F[j])+T[i]*(F[i]-F[j])
展开：
f[j]+s*F[n]-s*F[j]+T[i]*F[i]-T[i]*F[j]
整理：
f[j]-s*F[j]+s*F[n]+T[i]*F[i]*T[i]-F[j]*T[i]
利用线的套路转变：
b=f[j]-s*F[j];k=F[j];x=T[i],s*F[n]+F[i]*T[i]为常数
然后我们发现斜率k是满足单调性的，而横坐标x根据题意有负数是不满足单调性的。
这时候我们可以直接应用货币兑换的CDQ分治(把斜率和横坐标都不当成单调的搞)：
在左边维护斜率单调构造半平面交
在右边维护横坐标单调进行决策转移
具体分析请参考货币兑换的博客，上面有详解
附上代码：
// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=300050;
int gi()
{
int x=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*flag;
}
struct data {int k,x,b;int id;}g[N],q[N],p[N];
bool cmp(data a,data b){
return a.x<b.x;
}
int f[N],F[N],T[N],s,n;
void solve(int l,int r){
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1,l1=l,l2=mid+1,head=1,tail=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(g[i].id<=mid) p[l1++]=g[i];
else p[l2++]=g[i];
}
for(int i=l;i<=r;i++) g[i]=p[i];
solve(l,mid);
for(int i=l;i<=mid;i++){
while(head<tail&&(g[i].k-q[tail-1].k)*(q[tail-1].b-q[tail].b)>=(q[tail].k-q[tail-1].k)*(q[tail-1].b-g[i].b))
tail--;
q[++tail]=g[i];
}
//sort(g+mid+1,g+r+1,cmp);
for(int i=mid+1;i<=r;i++){
while(head<tail&&q[head].k*g[i].x+q[head].b>=q[head+1].k*g[i].x+q[head+1].b)
head++;
f[g[i].id]=min(f[g[i].id],q[head].k*g[i].x+q[head].b+T[g[i].id]*F[g[i].id]+s*F[n]);
g[i].b=f[g[i].id]-s*F[g[i].id];
}
solve(mid+1,r);l1=l,l2=mid+1;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(l2>r||(l1<=mid&&g[l1].k>=g[l2].k)) p[i]=g[l1++];
else p[i]=g[l2++];
}
for(int i=l;i<=r;i++) g[i]=p[i];
}
main()
{
n=gi(),s=gi();
for(int i=1;i<=n;i++){
T[i]=gi()+T[i-1];
F[i]=gi()+F[i-1];
g[i].id=i,g[i].k=-F[i],g[i].x=T[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=s*F[n]+T[i]*F[i],g[i].b=f[i]-s*F[i];
sort(g+1,g+n+1,cmp);solve(1,n);
printf("%lld",f[n]);
}