leetcode链表--13、median-of-two-sorted-arrays（两个排序数组的中位数，时间复杂度）

题目描述

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

题目解析：本题关键之处在于时间复杂度要求为O(log(m+n))，本题如果采用合并并排序两数组的方式，时间复杂度为O((m+n)*log(n+m))但是在牛客网上提交也通过了

 1 class Solution {
 2 public:
 3     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
 4         int tmp[m+n];
 5         memcpy(tmp,A,sizeof(int)*m);
 6         memcpy(tmp+m,B,sizeof(int)*n);
 7  
 8         sort(tmp,tmp+n+m);
 9  
10         double median=(double) ((n+m)%2? tmp[(n+m)>>1]:(tmp[(n+m-1)>>1]+tmp[(n+m)>>1])/2.0);
11         return median;
12  
13     }
14 };
本题正确解法为：
该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
对于找第k小的元素，采用二分查找的方式，进行查找：
1）首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。
2）这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。
如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。
由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；
定义pa = min(k/2,m)  pb = k - pa;
if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  则说明对于数组a 其 0-pa均处于第k小的数左侧，则第k小的数应为 findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
if (a[pa - 1] > b[pb - 1])   则说明对于数组b 其 0-pb均处于第k小的数左侧，则第k小的数应为 findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
如果相等，则返回其中一个  a[pa - 1]

 1 class Solution {
 2 public:
 3 double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
 4     {
 5         //always assume that m is equal or smaller than n
 6         if (m > n)
 7             return findKth(b, n, a, m, k);
 8         if (m == 0)
 9             return b[k - 1];
10         if (k == 1)
11             return min(a[0], b[0]);
12         //divide k into two parts
13         int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
14         if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
15             return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
16         else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
17             return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
18         else
19             return a[pa - 1];
20     }
21     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
22         int total = m + n;
23         if (total & 0x1)
24             return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
25         else
26             return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
27                     + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
28     }
29 };
我们可以看出，代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。