题目

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

解答

给定一个数n，求1到n这些数可以构成多少棵二叉树。

给定一个序列1.....n，为了构造所有二叉树，我们可以使用1......n中的每一个数i作为根节点，自然1......(i-1)必然位于树的左子树中，(i+1).....n位于树的右子树中。然后可以递归来构建左右子树，由于根节点是唯一的，所以可以保证构建的二叉树都是唯一的。

使用两个状态来记录：

G(n)：长度为n的序列的所有唯一的二叉树。

F(i,n)，1<=i<=n：以i作为根节点的二叉树的数量。

G(n)就是我们要求解的答案，G(n)可以由F(i,n)计算而来。

G(n)=F(1,n)+F(2,n)+...+F(n,n) (1)

G(0)=1,G(1)=1

对于给定的一个序列1.....n，我们取i作为它的根节点，那么以i作为根节点的二叉树的数量F(i)可以由下面的公式计算而来：

F(i,n)=G(i-1)*G(n-i) 1<=i<=n (2)

综合公式（1）和公式（2），可以看出：

G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)

这就是上面这个问题的答案。

参考自：https://leetcode.com/discuss/24282/dp-solution-in-6-lines-with-explanation-f-i-n-g-i-1-g-n-i

可以看出这个问题和斐波拉也数列一样既可以用递归求解，也不可以不用递归求解，但是在leetcode中使用递归求解会显示超时。但是执行结果还是正确的。

解法一：递归解法

runtime:0ms


class Solution {
public:   
     int numTrees(int n) {
        if(n==0||n==1)
            return 1;
        
        int result=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            result+=numTrees(i)*numTrees(n-i-1);
            
        return result;
     }
    
};

解法二：非递归解法


class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int *G=new int[n+1]();
        G[0]=1;
        G[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
                G[i]+=G[j]*G[i-j-1];
        }
        return G[n];
    }
};

解法三：数学公式

数学上有一个卡塔兰数(Catalan)：

令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递归关系;

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

所以可以直接使用这个递归公式进行求解：


class Solution {
public:
     int numTrees(int n) {
        long long ans=1;
        for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        {
            ans=ans*i/(i-n);
        }
        return ans/(n+1);
         
     }
 
};