设多项式$P_{n}(z)=a_{0}+a_{1}z+cdots+a_{n}z^n$,其系数满足$$0<a_{0}<a_{1}<cdots<a_{n}$$
那么这个多项式的$n$个根完全落在单位圆盘$B(0,1)$中.
证明 设$P_{n}(z)=0$且$|z|geq1$,那么egin{align*}a_{n}|z|^{n+1}&=left|a_{0}+(a_{1}-a_{0})z+cdots+(a_{n}-a_{n-1})z^n ight|\&leq a_{0}+(a_{1}-a_{0})|z|+cdots+(a_{n}-a_{n-1})|z|^n\Rightarrow a_{n}|z|&leqfrac{1}{|z|^{n}}left(a_{0}+(a_{1}-a_{0})|z|+cdots+(a_{n}-a_{n-1})|z|^n ight)\&leq a_{0}+(a_{1}-a_{0})+cdots+(a_{n}-a_{n-1})\&=a_{n}end{align*}
因此$|z|=1$,不等式中等号成立,这要求$${ m arg}a_{0}={ m arg}(a_{1}-a_{0})z=cdots={ m arg}(a_{n}-a_{n-1})z^n$$
所以${ m arg}z=0$,一定有$z=1$.但是显然$P_{n}(1) eq0$.这说明多项式$P_{n}(z)$的根全部位于单位圆盘$B(0,1)$中.
利用这个结论便可以解决在史济怀、刘太顺《复变函数》P168中的这样一道习题：
设$0<a_{0}<a_{1}<cdots<a_{n}$,证明三角多项式$$a_{0}+a_{1}cos heta+cdots+a_{n}cos n heta$$
在$(0,2pi)$中有$2n$个不同的零点.