可能是因为当年本科学的是微积分，级数部分讲的不多，现在这部分习题做起来真的很困难，有不少题目想了很长时间,现在在这里练一练，做个记录.
4.设$0<alpha<frac{pi}{2},left|{ m arg}z_{n} ight|leqalpha,forall ninmathbb N$.证明级数$sum z_{n},sum{ m Re}z_{n},sum|z_{n}|$有相同的敛散性.
证明 假设$sum z_{n}$收敛,显然$sum{ m Re}z_{n}$也收敛,来证明$sum|z_{n}|$也收敛.因为$$frac{|z_{n}|}{{ m Re}z_{n}}=frac{1}{cos heta_{n}}leqfrac{1}{cosalpha}$$
所以$sum|z_{n}|$收敛.
再假设$sum{ m Re}z_{n}$收敛,则有前面的过程可得$sum|z_{n}|$收敛,进一步$sum z_{n}$也收敛.
上面的论述说明了三个级数同时收敛.自然也就同时发散.
5.设${ m Re}z_{n}geq0,forall ninmathbb N$,证明若$sum z_{n},sum z_{n}^{2}$都收敛,则$sum|z_{n}|^2$也收敛.
证明 设$z_{n}=r_{n}e^{i heta_{n}}, heta_{n}inleft[-frac{pi}{2},frac{pi}{2} ight]$,由$sum z_{n}$收敛可以知道$sum r_{n}cos heta_{n}$也收敛,而他是正项级数,因而$sum r_{n}^2cos^2 heta_{n}$也收敛;再根据$sum z_{n}^{2}$收敛知如下级数收敛$$sum r_{n}^2cos2 heta_{n}=sum r_{n}^2left(cos^2 heta_{n}-sin^2 heta_{n} ight)$$
收敛，因此$sum r_{n}^2sin^2 heta_{n}$也收敛,相加即得$sum r_{n}^2=sum|z_{n}|^2$收敛.
11.证明$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}frac{1}{n-z}$在$mathbb Csetminusmathbb N$上内闭一致收敛.
证明 任取紧集$mathbb Ksubsetmathbb Csetminusmathbb N$,我们来证明级数在$mathbb K$上一致收敛.任取$z_{0}inmathbb K$,存在充分小的邻域$B_{0}=B(z_{0},r_{0})subsetmathbb Csetminusmathbb N$,来证级数在$B_{0}$上一致收敛.
如果令$z=x+iy$,则$$(-1)^{n-1}frac{1}{n-z}=(-1)^{n-1}frac{n-x}{n^2-2nx-|z|^2}+i(-1)^{n-1}frac{y}{n^2-2nx-|z|^2}$$
根据函数项级数的Dirchlet判别法可以知道上面的级数的实部和虚部均在$B_{0}$中一致收敛.所以$sum(-1)^{n-1}frac{1}{n-z}$也在$B_{0}$中一致收敛.当$z_{0}$遍历$mathbb K$时可得到$mathbb K$的无限开覆盖$mathscr B$,由$mathbb K$的紧性知道可从$mathscr B$中取出有限个$B_{k},(k=1,2,cdots,n)$覆盖住$mathbb K$,而级数在每个$B_{k}$上一致收敛,所以在$cup_{k=1}^{n}B_{k}$上一致收敛,也在$mathbb K$上一致收敛.
由$mathbb K$的任意性,所以原来的级数在$mathbb Csetminusmathbb N$中内闭一致收敛.
12.设$sum f_{n}(z)$是区域$D$中的全纯函数项级数,设$sum{ m Re}f_{n}(z)$在$D$中内闭一致收敛,则$sum{ m Im}f_{n}(z)$在$D$上或者内闭一致收敛,或者在$D$上处处发散.
证明 还没想出来！
以解决！利用Schwarz积分公式可以证明