c++实现钢条切割问题

今天看了算法导论里面的动态规划（DP），有个有意思的问题：钢条切割来获取最大的收益。

书中讲到了几种求解方法，包括递归求解法、备忘录DP解法、自底向上的解法以及对解的重构。
书中给出不同解法的伪码，刚好需要练习c++，就有c++来实现DP求解钢条切割问题。

【递归求解】

// 钢条切割问题
// 自顶向下 递归实现

#include <iostream>
#include <time.h>

using namespace std;
int cut_rod(int len, int price_arr[]);

int main(int argc, char *argv[])
{
    clock_t start, finish;
    double duration;

    start = clock();
    int rod_len = 10;
    int p_arr[] = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};

    int profit = cut_rod(rod_len, p_arr);
    cout << "profit = " << profit << endl;

    finish = clock();
    duration = (double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC;  // 单位 s
    cout << "time cost = " << duration * 1000 << "ms" << endl;

    return 0;
}


/* 递归调用 cut_rod 函数
 * input： 钢条长度len， 单位钢条长度价格表price_arr[]
 * output: 长度为len的钢条的最佳收益
 *
 * 思想：
 * 1. 如果len==0，返回收益0
 * 2. 否则，把钢条切割为左边长度为i 和右边长度为len-i 的两段，
 *    长度为i的一段不在切割，收益为price_arr[i], 右边部分继续分解。
 * 注意：
 * 1. 程序存在访问风险；当输入长度大于 p_arr[]长度时，会访问到数组之外的元素；
 *    因此程序仅对 len < sizeof(p_arr)/sizeof(int) 的数据有效；
*/
int cut_rod(int len, int price_arr[])
{
    if (len == 0)
        return 0;

    int best_profit = -100;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        best_profit = max(best_profit, price_arr[i] + cut_rod(len-i, price_arr));
    }
    return best_profit;
}

【自底向上DP重构解】

自底向上重构解包括自底向上求解法，因此在这儿只传重构的解法；

文章假定在钢条长度大于10英寸时，售价仍然为30美元，这样对输入的钢条长度就没有限制<当然这很不科学>；

/* DP 解决 钢条切割问题
 * 不仅返回长度为len的钢条的最大收益r[]，而且返回切割情况s[]（重构的解）
 * 重构的解也是分析子问题的性质决定的

*/

#include <iostream>
#include <string.h>

#define rod_len 17
#define LEN rod_len + 1

using namespace std;
void extend_bottom_up_cut_rod(int len, int price_arr[], int (&r)[LEN], int (&s)[LEN]);
void print_cut_rod_solution(int len, int price_arr[], int (&r)[LEN], int (&s)[LEN]);

int main(int argc, char *argv[])
{
    int price[] = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
    int r[LEN], s[LEN];
    memset(r, 0, sizeof(r));
    memset(s, 0, sizeof(s));

    print_cut_rod_solution(rod_len, price, r, s);

    return 0;
}


void extend_bottom_up_cut_rod(int len, int price_arr[], int (&r)[LEN], int (&s)[LEN])
{
    if (len == 0)
        return;

    for (int j = 1; j <= len; j++)
    {
        int p = -1000;
        for (int i = 1; i <= j; i++)  // 长度为j的钢条，切割i
        {
            int left_price;
            if (i > 10)
                left_price = price_arr[10];
            else
                left_price = price_arr[i];

            if (p < left_price + r[j-i])
            {
                p = left_price + r[j-i];
                s[j] = i;
            }
        }
        r[j] = p;
    }
}

void print_cut_rod_solution(int len, int price_arr[], int (&r)[LEN], int (&s)[LEN])
{
    extend_bottom_up_cut_rod(len, price_arr, r, s);
    cout << len << " inch rod price is " << r[len] << endl;

    cout << "the cut order is ";
    while (len > 0)
    {
        cout << s[len] << "  ";
        len -= s[len];
    }
}