原码，反码，补码总结

前言

对于正数而言，原码，反码，补码都是一样的。但是对于负数而言，原码，反码，补码表示各有不同。

原码 （Sign and Magnitude）

用左边第一位来表示符号（Sign），0为正数，1为负数。其余位表示大小（Magnitude）。

这里以用原码表示-56来举例：

1. 写出大小的二进制表示
   56的二进制表示是0011 1000（默认8 bit）
2. 把左边第一位改成1
   [-56]原 = 1011 1000

其他例子：
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

取值范围

由于第一位是符号位, 所以用原码表示时，取值范围为：
[111..11, 011..11]

对于8 bit来说取值范围就是 [1111 1111 , 0111 1111] = [-127 , 127]

原码表示负数的问题

用原码表示负数时会出现几个问题：

1. 该怎么表示0？
   这时候0可以有两种表示方法，0000 0000 （+0）和 1000 0000 （-0）

2. 运算不方便
   考虑加法的三种种情况，可以知道对于每种情况，运算的方式都不同，这就造成了设计上的不方便

• A+B (A是正数，B是正数)
  正数时正常加（Add Normal）
  [0001]原 + [0001]原 = [0002]原

• A+B (A是正数，B是负数)
  此时要把加法变为减法，再拿数值相减
  11 + (-6) = [01011]原 + [10110]原 = 1011 - 0110 = 0101 = 5

• A+B (A是负数，B是负数)
  此时要正常相加数值，最后要保留符号
  -3 + （-4）= [10011]原 + [10100]原 = 0011 + 0100 = 0111 = -7

反码 (1's complement)

关于反码有两种说法：

第一种

还是拿-56举例：

1. 把大小转换成二进制 （Encode the positive value to binary）
   56的二进制表示是0011 1000
2. 反转所有位 （Flip all bits）
   [-56]反 = 1100 0111

第二种

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余位取反.
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反
[-56] = [1011 1000]原 = [1100 0111]反

反码表示负数的问题

用反码表示负数时也会有跟原码一样的问题：

1. 该怎么表示0？
   这时候0可以有两种表示方法，0000 0000 和 1111 1111

2. 加法，减法，乘法，除法并不直观
   拿 (+1) + （-1）举例：
   我们期待 (+1) + （-1）= 0
   但是，(+1) + （-1）= 0000 0001 + 1111 1110 = 1111 1111 = -0

补码 (2's complement)

关于反码有两种说法：

第一种

还是拿-56举例：

1. 把大小转换成二进制 （Encode the positive value to binary）
   56的二进制表示是0011 1000

2. 反转所有位 （Flip all bits）
   [-56]反 = 1100 0111

3. 加一 （Add one）
   [-56]补 = 1100 1000

把补码转成整数：

1. 反转所有位 （Flip all bits）
   1101 0100 -> 0010 1011

2. 加一 （Add one）
   0010 1011 + 1 = 0010 1100

3. 转换成大小
   0010 1100 = 44

4. 加上负号
   [1101 0100]补 = -44

第二种

这边以-14的补码表示举例：

1. 写成原码，改变符号位
   14 = 0000 1110
   [-14]原 = [1000 1110]

2. 出符号位外，各个位取反
   [-14]反 = [1111 0001]

3. 反码加一
   [-14]补 = [1111 0010]

从补码推到原码
以推导-69举例：
[1011 1011]补

1. 减一变成反码
   [1011 1010]反

2. 除符号外取反
   [1100 0101]原 = （-）（1+2²⁺²6) = -69

补码的范围

[100..00, 011...1]

也就是说[-1]补 = [1111 1111], 负数的取值范围变成了[1000 0000, 1111 1111]

补码的好处

1. 运算方便
   -56 + 12 = [1100 1000]补 + [0000 1100]补 = [1101 0100]补 = -44
   28 + （-26）= [0001 1100]补 + [1110 0110]补 = [1 0000 0010]补 = [0000 0010] = 2

2. 拿补码和正数可以加一个溢出的零，0只有一个code表示
   1+-1 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [1 0000 0000]补 = [0000 0000] = 0

ps: 这里溢出的1会被截断

3. 能将字的最高有效位解释为负权
   [0001] = -0 * (2^3) + 0 * (2^2) + 0 * (2^1) + 1 * (2^0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
   [1111] = -1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 1 * (2^1) + 1 * (2^0) = -8 + 4 + 2 + 1 = -1