数学推导- 圆上任取3个点构成三角形
题意：
在圆上取N个点，以至将圆弧分成N等份，求任取3个点能构成多少个锐角三角形
思路：
求所有不同锐角三角形的个数，只需要求出所有三角形的个数(C(n,3))，
然后减去钝角和直角三角形的个数。下面考虑计算：
-
当(mathit n)为偶数：
直角三角形个数：(n*(n-2))，即圆上(mathit n)个点任意选择一个点，这其经过直径的对点一定要选，剩下的(n-2)个点可以任意选。
钝角三角形个数：(n*C(frac{n-2}{2},2))，即圆上(mathit n)个点任意选择一个点，则剩余两个点一定要选该点与经过直径的对点之间的一侧的，为了不重复计数，我们只考虑选择划分为的两侧中的一侧，即(frac{n-2}{2})中选择任意两个。
-
当(mathit n)为奇数：
直角三角形个数：0
钝角三角形个数：(n*C(frac{n}{2},2))，即圆上(mathit n)个点任意选择一个点，则剩余两个点一定要选该点与经过直径的对点之间的一侧的，为了不重复计数，我们只考虑选择划分为的两侧中的一侧，即(frac{n}{2})中选择任意两个。
通过化简和等价变换可以得到奇偶的情况是同一个公式，即：
最终可以得出答案为
[C(n,3)-C(n,1)*C(n/2,2);
]
代码：
long long n;
while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
{
printf("%lld
",((n-1)*(n-2))*n/3/2-((n/2-1)*(n/2)/2*n));
}
一点拓展：
- 圆上任取三个点组成锐角三角形的概率为(frac{1}{4})
- 圆上任取三个点组成钝角三角形的概率为(frac{3}{4})
- 圆上任取三个点组成直角三角形的概率为( ext 0)