分治策略——棋盘覆盖

一、什么是分治策略

分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

二、分治法的基本步骤

分治法的基本步骤 分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

三、典型例题：二分查找，快速排序，归并排序

四、分治策略之棋盘覆盖

一、问题描述

设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

　　(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；

　　(2)每个选手一天只能参赛一次；

　　(3)循环赛在n-1天内结束。

　　按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。

　　在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。

其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。8个选手的比赛日程表如下图：

二、解决思想

　　按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。

　　如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

三、实现代码

package aa;
import javax.swing.table.TableCellEditor;
import java.lang.annotation.Target;
import java.util.Scanner;
public class test01 {
    static int [][]a = new int[100][100];
    public static void Table(int k){    //构造循环赛日程表，选手数量n=2的k次；
        int n = 1<<k;
        for( int i = 0; i < n; i++ )
            a[0][i] = i+1;
        for( int r = 1; r < n; r = r<<1 )
            for( int i = 0; i < n; i = i+r*2 ){
                Copy(r,r+i,0,i,r);
                Copy(r,i,0,r+i,r);
            }
    }

    public static void Copy(int tox,int toy,int fromx,int fromy,int r){
        for( int i = 0; i < r; i++ )
            for( int j = 0; j < r; j++ ){
                a[tox+i][toy+j] = a[fromx+i][fromy+j];
            }
    }
    public static void out(int n){
        for(int i = 0;i<n;i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.print(a[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入k的值（2^k个运动员）");
        int k = scanner.nextInt();
        scanner.close();
        int n=1<<k;
        //制作日程表
        Table(k);
        //打印日程表
        out(n);
    }
}

四、执行结果