在多分类问题中，我们可以使用 softmax 函数，对输出的值归一化为概率值。下面举个例子：
import sys
sys.path.append("E:/zlab/")
from plotnet import plot_net, DynamicShow
num_node_list = [10, 7, 5]
figsize = (15, 6)
plot_net(num_node_list, figsize, 'net')
Press `c` to save figure to "net.svg", `Ctrl+d` to break >>
> c:programdataanaconda3libsite-packagesviznetcontext.py(45)__exit__()
-> plt.savefig(self.filename, dpi=300)
(Pdb) c
上图转换为表达式：
[egin{aligned}
&a^{(0)} = (a_0^{(0)}, a_1^{(0)}, cdots, a_9^{(0)})^T\
&a^{(1)} = (a_0^{(1)}, a_1^{(1)}, cdots, a_6^{(1)})^T\
&a^{(2)} = (a_0^{(2)}, a_1^{(2)}, cdots, a_4^{(2)})^T\
end{aligned}
]
对于任意的 (0 leq i leq 2), 有前向传播的表达式：
[egin{aligned}
&z^{(i+1)} = W^{(i)}a^{(i)} + b^{(i)}\
&a^{(i+1)} = f^{(i+1)}(z^{(i+1)})
end{aligned}
]
其中，(f^{(j)}) 表示激活函数，除了输出层外，一般使用 ReLU 函数；(W^{(i)}, b^{(i)}) 为模型参数。
如若我们有 (m) 个样本 ({x^{(j)}}_{j=1}^m) 组成的数据集 (D), 称 (X = (x^{(1)}, x^{(2)}, cdots, x^{(m)})^T) 为数据集 (D) 的设计矩阵。
这样，前向传播可以改写为：
[egin{cases}
Z^{(1+i)} = Z^{(i)}W^{(0)} + (b^{(i)})^T\
A^{(1+i)} = f^{(1+i)}(Z^{(1+i)})
end{cases}
]
- (Z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)}, cdots, z_m^{(i)})^T), 这里对 (z^{(i)}) 添加下标以区别不同的样本;
- 这里对列向量 (b^{(i)}) 进行了 broadcast 操作;
- 且 (Z^{(0)} = X).
对于多分类问题，一般输出层对应的激活函数的 softmax 函数：
求解 (A^{(2)}):
- 计算 (exp = exp(Z^{(1)}));
- 对 (exp) 按列做归一化, 便可得到 ( ext{softmax}(A^{(1)})).
import numpy as np
def softmax(X):
X_exp = np.exp(X)
partition = X_exp.sum(axis=1, keepdims=True)
return X_exp / partition # 这里应用了广播机制。
softmax([[2, 3,4], [3, 5, 7]])
array([[0.09003057, 0.24472847, 0.66524096],
[0.01587624, 0.11731043, 0.86681333]])
但如果输入值较大或较小时，会出现内存溢出的现象：
softmax([1000, 1000, 100])
C:ProgramDataAnaconda3libsite-packagesipykernel\__main__.py:5: RuntimeWarning: overflow encountered in exp
C:ProgramDataAnaconda3libsite-packagesipykernel\__main__.py:7: RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide
array([nan, nan, 0.])
softmax([-10000, -1020, 100, -70220])
array([0., 0., 1., 0.])
一种简单有效避免该问题的方法就是让 (exp(z_j)) 中的 (z_j) 替换为 (z_j - max_{i} {z_i}), 由于 (max_{i}) 是个固定的常数，所以 (exp(z_j)) 的值没有改变。但是，此时避免了溢出现象的出现。
def softmax(X):
X = np.asanyarray(X)
X -= X.max(axis=-1, keepdims=True)
X_exp = np.exp(X)
print(X_exp)
partition = X_exp.sum(axis=-1, keepdims=True)
return X_exp / partition # 这里应用了广播机制。
softmax([1000, 1000, 100])
[1. 1. 0.]
array([0.5, 0.5, 0. ])
softmax([-10000, -1020, 100, -7220])
[0. 0. 1. 0.]
array([0., 0., 1., 0.])
softmax([-10000, -1020, 100, -70220])
[0. 0. 1. 0.]
array([0., 0., 1., 0.])
当然这种做法也不是最完美的，因为 softmax 函数不可能产生 0 值，但这总比出现 nan 的结果好，并且真实的结果也是非常接近 (0) 的。
除此之外，还有一个问题：如果我们计算 (log ext{softmax} (z_j)) 时，先计算 ( ext{softmax}) 再将其传递给 (log)，会错误的得到 (-infty)
np.log(softmax([-10000, -1020, 100, -70220]))
[0. 0. 1. 0.]
C:ProgramDataAnaconda3libsite-packagesipykernel\__main__.py:1: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
if __name__ == '__main__':
array([-inf, -inf, 0., -inf])
最简单的处理方式是直接加一个很小的常数：
np.log(softmax([-10000, -1020, 100, -70220])+ 1e-7)
[0. 0. 1. 0.]
array([-1.61180957e+01, -1.61180957e+01, 9.99999951e-08, -1.61180957e+01])
为了解决此数值计算的不稳定，MXNet 提供了：
from mxnet.gluon import loss as gloss
loss = gloss.SoftmaxCrossEntropyLoss()
解决计算交叉熵时出现的数值不稳定的问题。
更多数据挖掘内容见：datamining