【算法30】从数组中选择k组长度为m的子数组，要求其和最小

问题描述：

给定长度为n的数组a[],从中选择k个长度为m的子数组，要求和最大。

形式描述为：选择$k$个子数组[$l_1$, $r_1$], [$l_2$, $r_2$], ..., [$l_k$l1, $r_k$] (1 ≤ $l_1$ ≤$r_1$ ≤$l_2$ ≤ $r_2$ ≤... ≤$l_k$ ≤ $r_k$ ≤ n; $r_i-r_i+1$), 使得$sum_{i=1}^{k}sum_{j=l_i}^{r_i}p_j$

问题分析：

【思路1】先从简单粗暴的方法入手，怎么办？寻找所有的k个长度为m的子数组，然后选择其中和最小的。第一个长度为m的子数组开始位置可能为0...(k-1)*m，然后第二个子数组的下标？第三个子数组下标？太复杂了而且时间复杂度肯定超高，不能忍，换个方法吧。

【思路2】再看一下问题，要求和最大，求最值问题十有八九都是DP问题，试试吧。DP题目子问题怎么定义是关键，然后这东西基本只能靠经验了（嗯，算法导论上就是这么说的）。从后往前考虑，那么对于最后一个元素，只有两种情况，被选中到子数组中或者没有被选到子数组中。如果被选中，那么首先计算最后m个元素的和，剩下的问题就化为从前面长度为n-m的数组中选择k-1组和最大的子数组。如果没选中最后一个，也好办，直接转化为从前面n-1个元素中选择k组和最大的子数组。分析后我们有：

子问题定义：　　　dp[i][j] = 从前i个元素中选择j个子数组的最大和

状态转移方程：　　dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + sum(a[i-m]...a[i-1]))

初始条件：　　dp[0][j] = 0; dp[i][0] = 0; if (i < j * m) dp[i][j] = 0;

AC代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 #include <vector>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <functional>
 6 #include <numeric>
 7 using namespace std;
 8 
 9 int main()
10 {
11     int n, m, k;
12     cin >> n >> m >> k;
13 
14     vector<int> v(n, 0);
15     for (int i = 0; i < n; ++i)
16     {
17         cin >> v[i];
18     }
19 
20     // dp[i][j] = choose j pairs integers from the first i elements
21     // Then base on the ith is chosen or not, there are two case:
22     // not choose ith element, the dp[i][j] = dp[i-1][j]
23     // choose ith element, the dp[i][j] = dp[i-m][j-1] + sum(a[i-1]...a[i-m])
24     // so dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + sum(a[i-1]...a[i-m])
25     // base case: assert (i >= j * m) if not 0 dp[i][j] = 0
26     // the problem is equal to find dp[n][k]
27     
28     vector<vector<long long> > dp(n+1, vector<long long>(k+1, 0));
29 
30     // base case
31     for (int i = 0; i < n + 1; ++i)
32     {
33         for (int j = 0; j < k + 1; ++j)
34         {
35             if (i < j * m)
36             {
37                 dp[i][j] = 0;
38             }
39         }
40     }
41 
42     // bottom to up
43     for (int i = 1; i < n + 1; ++i)
44     {
45         for (int j = 1; j < k + 1; ++j)
46         {
47             if (i >= j * m)
48             {
49                 long long lastPairSum = accumulate(v.begin() + i - m, v.begin() + i, 0LL);
50                 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + lastPairSum);    
51             }
52 
53         }
54     }
55 
56     long long ans = dp[n][k];
57     cout << ans << endl;
58     return 0;
59 }

注意点：

这道题目很简单的，为什么要记录下来呢，因为我用了int，出现了overflow，想了半天也没想明白到底错在哪里了，脑子真是瓦特啦，记下来以免重蹈覆辙。