hdu 2065 "红色病毒"问题

"红色病毒"问题

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Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

 

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

 

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

 

Sample Input

4

1

4

20

11

3

14

24

6

0

 

Sample Output

Case 1: 2

Case 2: 72

Case 3: 32

Case 4: 0

 

Case 1: 56

Case 2: 72

Case 3: 56

 

Author

Rabbit

 

Source

RPG专场练习赛

 

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貌似是数学题。。。反正宝宝完全看不懂，我只是照着代码敲了一遍。。

 

复制别人的题解：

由4种字母组成，A和C只能出现偶数次。

构造指数级生成函数：(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

前面是B和D的情况，可以任意取，但是相同字母一样，所以要除去排列数。后者是A和C的情况，只能取偶数个情况。

根据泰勒展开，e^x在x0=0点的n阶泰勒多项式为 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……

而后者也可以进行调整，需要把奇数项去掉，则e^(-x)的展开式为1-x/1!+X^2/2!-X^3/3!……

所以后者可以化简为(e^x+e^(-x))/2。则原式为 (e^x)^2   *  ((e^x*e^(-x))/2)^2

整理得到e^4x+2*e^2x+1。

又由上面的泰勒展开 

e^4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + ... + (4x)^n/n!;

e^2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + ... + (2x)^n/n!;

对于系数为n的系数为(4^n+2*2^n)/4=4^(n-1)+2^（n-1）;

快速幂搞之。

题意：中文题，很好理解。

附上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mod 100
using namespace std;
int xx(int a,__int64 b)
{
    int t=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        t=(t*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return t;
}
int main()
{
    int n,i,j;
    __int64 m;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int T=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&m);
            printf("Case %d: %d
",++T,(xx(4,m-1)+xx(2,m-1))%mod);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}