POJ 3709 斜率优化DP

此题有是方程好写，优化很难（对于神犇们，简直太水了）的一道题

建议做这道题之前先看这道题：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

题意：

将一个升序的，有N个元素的序列，分组。要求每组的元素不少于K个，计算出组内各元素与最小元素的之差的和，将每组的这个值加起来，其和要最小。

思路：

由以上可得DP方程：

dp[i]=MIN(dp[j]+sum[i]-sum[j]-(i-j)*arr[j+1]); j<i-k+1

 

开始斜率优化（不考虑每组不少于K个元素）：

1.证明较优决策点对后续状态影响的持续性

  证明很简单，不证了，有兴趣的话，参考上一篇文章

 

2.求斜率方程:一般化为左边是J，K，右边是I的形式

  假设J<K，且在K点的决策比J好，则有

 dp[j]+sum[i]-sum[j]-(i-j)*arr[j+1]>= dp[k]+sum[i]-sum[k]-(i-k)*arr[k+1]

化简得：

  dp[j]-dp[k]-sum[j]+sum[k]+j*arr[j+1]-k*arr[k+1]>=i* (arr[j+1]-arr[k+1])

 

令G(k,j)= dp[j]-dp[k]-sum[j]+sum[k]+j*arr[j+1]-k*arr[k+1]

   S(k,j)= arr[j+1]-arr[k+1]

 

则上式化为G(k,j)>=i*S(k,j)

即G(k,j)/S(k,j)<=i 记住变号，因为S(k,j)<0

令X(k,j)= G(k,j)/S(k,j)

所以斜率方程：X(k,j)<=i

 

3.规定队列的维护规则

队首维护:

  假设A,B(A<B)是队首元素,若X(B,A)<=i,则B比A好,删除A,否则不需维护.

 

队尾维护:

    假设A,B,C(A<B<C)是队尾元素

a.若X(B,A)<=i,且X(C,B)<=i,则C比B好,B比A好

b.若X(B,A)<=i,且X(C,B)>i,则B比C好,B比A好,B为极大值

c.若X(B,A)>i,A比B好

 

a,c情况直接删掉B,b情况保留.b情况可改为X(B,A)<X(C,B)

 

好，以下考虑每组不少于K个元素这个限制。

要解决这个限制，只需延迟加入的时机即可。

若延迟K-1个回合加入，有可能使前一组的个数少于K个。

若延迟2*k-1个回合加入，则不会出现这情况。但此时加入的数应是i-k+1（假设是第I回合）

第一次做斜率优化DP，照着题解写的，以上内容转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f5353cc0100jxxo.html

代码按照题解思路写的：

DP真的好神奇！~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>

#define N 505000 

using namespace std;

int n,k,tt;
__int64 dp[N],sum[N],a[N],q[N];

void read()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
}

__int64 G(int y,int x)
{
    return dp[x]-dp[y]-sum[x]+sum[y]+x*a[x+1]-y*a[y+1];
}

__int64 S(int y,int x)
{
    return a[x+1]-a[y+1];
}

void go()
{
    dp[0]=0;
    int h=1,t=1;
    q[t++]=0;
    for(int i=1,x,y,z;i<=n;i++)
    {
        while(h<t-1&&G(q[h+1],q[h])>=i*S(q[h+1],q[h])) h++;//把不可能成为最优值的出队 
        
        dp[i]=dp[q[h]]+sum[i]-sum[q[h]]-(i-q[h])*a[q[h]+1];
        
        if(i>=2*k-1) q[t++]=i-k+1;//延迟更新 
        
        for(int j=t-2;j-1>=h;j--)
        {
            x=q[j-1]; y=q[j]; z=q[j+1];
            if(G(y,x)*S(z,y)>=G(z,y)*S(y,x)) q[j]=q[--t];
            else break;
        }
    }
    printf("%I64d\n",dp[n]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        read();
        go();
    }
    return 0;
}