DAG上的DP

引例：NYOJ16

矩形嵌套

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难度：4

描述

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入

第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，
每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)
随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽

输出

每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行

样例输入

样例输出

5

我们可以这样建模：将每个矩形视作一个结点，若矩形A能覆盖矩形B，那么就在作一条结点A指向结点B的有向路径，结果我们会得到一个DAG（有向无环图）。求符合条件的最多矩形数目，就是DAG中最长路径上的结点数目。
求DAG上的最长路径上的结点数目，我们可用记忆化搜索求解，（同poj1088滑雪）
代码如下:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
vector<int> G[MAXN];
int V,E;
int d[MAXN];
int dfs(int u)
{
    if(d[u]>0)    return d[u];
    int ans=0;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        ans=max(ans,dfs(G[u][i])+1);
    }
    return d[u]=ans;
}
int main()
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    scanf("%d%d",&V,&E);
    for(int i=0;i<E;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].push_back(v);
    } 
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=V;i++)
        ans=max(ans,dfs(i));
    printf("%d
",ans+1);
    return 0;
}
/*
7 8
1 2
1 3
3 2
2 4
2 5
4 6
6 5
5 7

7
*/

这样矩形覆盖问题就迎刃而解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
vector<int> G[MAXN];
struct Rect{
    int x,y;
}rect[MAXN];
int n;
void createG()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if((rect[i].x<rect[j].x&&rect[i].y<rect[j].y)||(rect[i].y<rect[j].x&&rect[i].x<rect[j].y))
            {
                G[j].push_back(i);
            }
}
int d[MAXN];
int dfs(int u)
{
    if(d[u]>0)    return d[u];
    int ans=0;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
        ans=max(ans,dfs(G[u][i])+1);
    return d[u]=ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            G[i].clear();
            scanf("%d%d",&rect[i].x,&rect[i].y);
        }
        createG();
        memset(d,0,sizeof(d));
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=max(ans,dfs(i));
        printf("%d
",ans+1);
    }
    
    return 0;
}

该问题也可以转化为最长上升子序列问题求解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=1000;
struct Rect{
    int x,y;
}rect[1005];
int n;
bool comp(const Rect &a,const Rect &b)
{
    if(a.x==b.x)    return a.y > b.y;//µ±±ß³¤ÏàÍ¬Ê±ÓÐ´óµ½Ð¡ÅÅÐò 
    else return a.x < b.x;    
}
int dp[1005];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&rect[i].x,&rect[i].y);
            dp[i]=INF;
        }
        sort(rect,rect+n,comp);
        for(int i=0;i<n;i++)
            *lower_bound(dp,dp+n,rect[i].y)=rect[i].y;
        printf("%d
",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);
    }    
    
    return 0;
}